Des matrices de Pauli aux bruits quantiques
Résumé
Since its first definition by Hudson and Parthasarathy in 1984, quantum stochastic integration has become a powerful tool to describe evolutions in quantum physics. Yet many questions remain open, in particular in in the field of integral representability of operators. The recent definition by Attal of a completely explicit method of approximation of the usual Fock space by a discrete-time analogue justifies the interest of a good knowledge of quantum stochastic integration in this discrete-time framework to apply this approximation procedure. In this thesis we rigorously define such a stochastic calculus and derive a characterization of those operators that admit representations in the form of integrals or of Maassen-Meyer kernel operators, with fully explicit formulas for both type of representations.These results in turn allow us to precise the link between discrete and continuous-time quantum stochastic calculus and in particular to prove that the quantum Ito formula for composition of integrals is a consequence of the commutation relations between specifif operators, for example the Pauli matrices. We then apply those results to obtain, in usual Fock space, a characterization of the operators that are representable as quantum stochastic integrals among the physically important families of second quantization and differential second quantization operators. Then we use the formerly developed techniques to obtain results for the convergence of solutions of difference equations to solutions of quantum stochastic differential equations. These results allow us to prove that any evolution obtained in a quantum setup by means of repeated interactions is fully determined by a quantum Langevin equation. This quantum Langevin equation describes the coupling between a ``small system'' and a ``reservoir'', this reservoir and the limit equation being obtained in a fully explicit way from the repeated interaction. These results yield in particular a rigourous description of continuous measurement and of ``coarse graining'' approximations in quantum optics.
Depuis sa première définition par Hudson et Parthasarathy en 1984, l'intégration stochastique quantique offre un outil puissant pour la description de certaines évolutions en physique quantique. De nombreuses questions restent ouvertes cependant, en particulier dans le domaine de la représentabilité intégrale des opérateurs. La définition récente par Attal d'une méthode complètement explicite de l'approximation de l'espace de Fock usuel par un analogue discret a justifié l'intérêt d'une bonne connaissance du calcul stochastique quantique à temps discret. Nous définissons rigoureusement un tel calcul stochastique et obtenons une caractérisation des opérateurs admettant des représentations intégrales ou des représentations sous la forme de noyau de Maassen-Meyer, avec des expressions explicites dans les deux cas. Ces résultats nous permettent de préciser complètement le lien entre le calcul à temps discret et le calcul à temps continu et en particulier de montrer que la formule d'Itô quantique de composition des intégrales se déduit rigoureusement de relations de commutation, par exemple des relations de commutation entre matrices de Pauli. Nous appliquons ensuite nos résultats pour obtenir une caractérisation, dans l'espace de Fock usuel, des opérateurs qui sont représentables en intégrales stochastiques quantiques parmi les classes fondamentales que sont les opérateurs de seconde quantification et de seconde quantification différentielle. Enfin, nous utilisons ces techniques pour obtenir des résultats de convergence de solutions d'équations aux différences vers des équations différentielles stochastiques quantiques. Ces résultats nous permettent de montrer qu'une évolution en mécanique quantique obtenue par des interactions répétées est déterminée, à la limite, par une équation de Langevin quantique. Cette équation de Langevin décrit un couplage entre un ``petit système'' et un ``réservoir'', ce réservoir et les coefficients de l'équation se déduisant explicitement de l'interaction que l'on répète. Ces résultats permettent en particulier d'obtenir une description rigoureuse des mesures en continu et des approximations de ``coarse graining'' en optique quantique.
Mots clés
Probabilit{é}s quantiques
espaces de Fock
b{é}b{é} Fock
int{é}grale stochastique quantique
repr{é}sentation de Maassen-Meyer
formule d'Itô quantique
seconde quantification
seconde quantification diff{é}rentielle
{é}quations de structure
{é}quation diff{é}rentielle stochastique quantique.
{é}quation diff{é}rentielle stochastique quantique