Dynamique d'applications non polynomiales et courants laminaires
Résumé
This thesis is devoted to holomorphic dynamics in two complex variables, and the theory of laminar currents which is closely related to it. We study the dynamics of a class of holomorphic mappings, introduced by Hubbard and Oberste Vorth, that are defined in some neighborhood of the unit bidisk and need not be rational. They have the same relationship with complex Hénon mappings as polynomial-like maps do with polynomials in one variable. These maps are proven to display several dynamical properties that parallel those of polynomial diffeomorphisms, as established by Bedford, Lyubich, Smillie, Fornæ ss and Sibony: existence of attracting closed positive currents, as well as a unique measure of maximal entropy, which describes the asymptotic distribution of saddle orbits. Laminar currents --a generalization of Sullivan's ``foliation cycles''-- were introduced by Bedford, Lyubich, and Smillie in the setting of two-dimensional holomorphic dynamics. We develop a general theory of such currents. We first give a geometric criterion on a sequence of plane algebraic curves, with degree growing to infinity, ensuring that the cluster values (in the sense of currents) are laminar; as a consequence laminarity of the dynamical ``Green'' current is derived for a class of rational selfmaps of the projective plane, including birational ones. For currents obtained in this way, we give a geometric interpretation of the wedge product, assuming a potential theoretic condition; we also prove such currents satisfy an ``analytic continuation'' property. This enables us to realize these currents as foliation cycles on an abstract lamination.
Cette thèse est consacrée aux systèmes dynamiques holomorphes en dimension complexe 2, et à la théorie des courants laminaires, qui en est issue. Nous étudions la dynamique d'une classe d'applications holomorphes, introduites par Hubbard et Oberste-Vorth, non nécessairement rationnelles, définies au voisinage du bidisque unité, qui sont aux applications de Hénon complexes ce que les applications d'allure polynomiale sont aux polynômes d' une variable. Nous montrons pour ces applications un certain nombre de propriétés dynamiques analogues à celles des difféomorphismes polynomiaux, établies notamment par Bedford, Lyubich, Smillie, Fornæ ss et Sibony: existence de courants positifs fermés invariants ``attractifs'', ainsi que d'une unique mesure d'entropie maximale, décrivant la répartition des points périodiques de type selle. Les courants laminaires, généralisation des ``cycles feuilletés'' de Sullivan, ont été introduits par Bedford, Lyubich et Smillie dans le cadre de l'étude des difféomorphismes polynomiaux de deux variables. Nous développons une théorie générale de ces courants. Premièrement nous donnons un critère géométrique portant sur une suite de courbes planes algébriques de degré tendant vers l'infini pour que ses valeurs d'adhérence au sens des courants soient laminaires, et en déduisons la laminarité du courant dynamique ``de Green'' pour une classe d'applications rationnelles du plan projectif, incluant celle des applications birationnelles. Pour les courants obtenus par ce procédé, nous montrons que l'on peut donner, sous une hypothèse de nature potentialiste, une interprétation géométrique au produit extérieur; nous montrons également que ces courants satisfont une propriété de ``prolongement analytique''. Ceci nous permet de réaliser ces courants comme cycles feuilletés sur une lamination abstraite.
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