Quelques problèmes aux limites pour des équations de Navier-Stokes compressibles et isentropiques
Résumé
In this thesis, we deal with the problem of existence of weak solutions to the compressible and isentropic Navier-Stokes equations. This study was motivated by the works of P.L. Lions in which the author solves this problem when the region filled with the fluid is smooth and under assumptions for the adiabatic constant which are not always satisfactory from the physical point of view. A method to weaken these assumptions was suggested recently by E. Feireisl and it was applied to the equations of evolution. In the steady case, we prove existence of a renormalized bounded energy weak solution in bounded regions with Lipschitz boundary and in some cases, we improve the assumptions for the adiabatic constant. We also study flows in unbounded regions with several outlets at infinity. In this case, we define bounded energy weak solutions letting appear in the energy inequality the notion of flux through each outlet and the notion of pressure drop between the outlets. We prove existence of such solutions when the outlets are conical while for cylindrical outlets, we show a non-existence result. In the unsteady case, we prove existence of weak solutions for a problem with inflow-outflow boundary conditions in a bounded region with a special shape. This part of this thesis is inspired by the work of E. Feireisl about the shape optimization in a viscous compressible flow.
Dans cette thèse, nous examinons la question d'existence de solutions faibles des équations de Navier-Stokes compressibles et isentropiques. Cette étude a été motivée par les travaux de P.L. Lions qui a apporté une réponse à cette question lorsque la région occupée par le fluide est régulière et sous des hypothèses pas toujours satisfaisantes d'un point de vue physique pour la constante adiabatique. Récemment, E. Feireisl a proposé une méthode permettant d'affaiblir ces hypothèses et l'a appliquée aux équations d'évolution. Dans le cas stationnaire, nous montrons l'existence d'une solution faible renormalisée à énergie bornée lorsque la région d'écoulement est bornée, à régularité Lipschitzienne et nous améliorons dans certains cas les hypothèses sur la constante adiabatique. Nous étudions ensuite les écoulements lorsque la région est non bornée et présente plusieurs sorties à l'infini. Dans cette situation, nous définissons les solutions faibles à énergie bornée en faisant apparaître dans l'inégalité d'énergie la notion de flux à travers chaque sortie ainsi que celle de saut de pression entre les sorties. Nous démontrons l'existence de ces solutions lorsque les sorties sont coniques alors que dans le cas où celles-ci sont cylindriques, nous prouvons qu'en général de telles solutions n'existent pas. Dans le cas non stationnaire, nous démontrons l'existence de solutions faibles pour un problème avec afflux et débit dans une région borée ayant une géométrie particulière. Ces travaux sont inspirés de ceux de E. Feireisl en optimisation de formes dans un écoulement compressible et visqueux.