Fonctions zêta des hauteurs des variétés toriques en caractéristique positive
Résumé
We study the analytical behaviour of the height zeta function of a compactification of an algebraic torus, defined over a global field of nonzero characteristic. The analogous problem for number fields was treated before by Batyrev/Tschinkel and Salberger. These questions lie within the general framework of Manin's conjectures. First we deal with the case of a split torus, being inspired by Salberger's method, which is based on the parametrization of the rational points given by universal torsors. Then we describe a possible extension of these techniques to a motivic setting. Finally, in order to study the case of a nonsplit torus, we draw our inspiration from Batyrev and Tschinkel's ideas, which involve harmonic analysis on the torus. We obtain the expected result, modulo the computation of an invariant of the torus, which is specific to nonzero characteristic. We were able to achieve this computation only for particular families of algebraic tori.
Nous étudions le comportement analytique de la fonction zêta associée à une certaine hauteur anticanonique sur une variété torique projective et lisse, le corps de définition étant un corps global de caractéristique positive. Ce comportement est étroitement lié à l'évolution asymptotique du nombre de points de hauteur bornée sur la variété. Manin et ses collaborateurs ont proposé des formules conjecturales pour le nombre de points de hauteur bornée sur une variété de Fano ou presque de Fano. Dans le cas des variétés toriques définies sur un corps de nombres ces formules ont été démontrées par Batyrev et Tschinkel, puis redémontrées par Salberger sous des hypothèses plus restrictives mais par une méthode entièrement différente. Nous nous intéressons donc dans cette thèse à la version fonctionnelle de ces résultats. Nous commençons par traiter le cas d'une variété torique déployée, en nous inspirant de la méthode de Salberger, basée sur une paramétrisation des points rationnels donnée par les torseurs universels ainsi que sur une inversion de Möbius. Nous expliquons ensuite comment les techniques utilisées dans cette situation peuvent s'appliquer aussi à un contexte motivique, mais notre calcul repose en partie sur une hypothèse non demontrée. Enfin pour examiner le cas de la compactification d'un tore non déployé nous adaptons au cas fonctionnel l'approche de Batyrev et Tshinkel. Leur idée est d'utiliser la formule de Poisson pour obtenir une représentation intégrale de la fonction zêta des hauteurs, intégrale que l'on évalue à l'aide du théorème des résidus. Nous obtenons une formule conforme aux prédictions de Manin et al., modulo le calcul d'un invariant du tore, invariant spécifique à la caractéristique non nulle. Nous n'avons pu mener à bien le calcul de cet invariant que pour des familles particulières de tores algébriques, et dans ce cas la formule obtenue est celle attendue. La question de savoir si la situation est la même pour un tore algébrique quelconque reste ouverte.