Contributions à l'étude des marchés discontinus par le calcul de Malliavin
Résumé
We consider markets driven by normal martingales which have the chaotic representation property, e.g.: martingales satisfying a deterministic structure equation, Azéma martingales. Replicating hedging strategies for European, Asian and Lookback options are explicitly computed using either the Clark-Ocone formula or an extension of the Delta-hedging method, depending on which is most appropriate. Using the Malliavin calculus on Poisson space we compute Greeks for Asian options in a market driven by a Poisson process. We also consider a stochastic volatility model with jumps where the underlying asset price is driven by process sum of a 2-dimensional Brownian motion and Poisson process. The market is incomplete and there exists an infinity of equivalent martingale measures. We minimize the entropy to choose such a measure, under which we determine the strategy minimizing the variance.
La constatation que les prix des actifs boursiers sautent brusquement a conduit à étudier des modèles de marchés avec sauts. Cette thèse va dans cette direction. On y considère des marchés dirigés par des martingales normales qui ont la propriété de représentation chaotique: les martingales vérifiant une équation de structure déterministe, la martingale d'Azéma, etc. On trouve des stratégies de couverture pour les options européennes, asiatiques et Lookback soit par la formule d'Itô, soit par la formule de Clark-Ocone selon la plus appropriée. L'application du calcul de Malliavin au calcul des Greeks est traitée pour les options asiatiques dans le cas d'un marché dirigé par un processus de Poisson. On traite aussi de couverture dans un modèle à volatilité stochastique avec sauts où le prix de l'actif risqué est dirigé par un processus somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Poisson 2-dimensionnels. Le marché est incomplet et il existe une infinité de mesures martingales équivalentes. On minimise l'entropie pour choisir telle mesure. Sous celle-ci on calcule la stratégie minimisant la variance.