Aspects des fonctions elliptiques. \\ Solutions périodiques d'équations différentielles.\\ Métriques pseudo-cylindriques. \\ Problèmes isopérimètriques plans
Résumé
\begin(center) (\bf ABSTRACT) \end(center) The summary of the research works that one proposes to present itself compose four parts \footnote (The references are those of the list of my publications.) * In the first, one examines properties of the Weierstrass elliptic function \ $\wp(z,\omega,\omega') $\ and the classical theta functions \ $\theta(v,\tau), $\ in light of a new trigonometric development. One determines the coefficients explicitly as a function of \ $\tau $, that are in fact hypergeometric functions. (\it [P1], [P6]).\\ In particular, it permits a new construction of the theory of elliptic functions and to recover some properties. Notably, the one concerning the function zeta of Jacobi \ $Zn(z,k). $\ Also, one puts in evidence of modular relations between these coefficients. \ (\it [P7], [P19], [P22]).\\ * In the second part, one is interested in periodic solutions of some ordinary differential equations. More precisely we look in for the growth of the function period depending on the energy and to sufficient conditions of its monotony. We give new criteria implying the period function increases. (\it [P5]). One shows in particular that all the known criteria - those of S.N. Chow, R. Schaaf, C. Chicone and F. Rothe - are not optimal. \\ One is also interested in the monotony of the period of the system of Liénard with a center at the origine. (\it [P8]). On gives in particular a simpler proof of Christopher's result and Devlin . . (\it [T30] ) While using trigonometric sets, one shows the existence of periodic solutions for an perturbed equation of Duffing type. (\it [P10], [P12]). \\ Finally, one uses with success a method of M. Farkas concerning the controllability of the period to show the existence of a periodic solution of the perturbed Liénard equation. (\it [P13] ).\\ * In the third part, we put in evidence properties of Riemannian and Ricci curvature for some metrics with positive constant curvature scalar, as well as their singularities. (\it [P3], [P4]).\\ These metrics in finished number are called pseudo-cylindrical. Besides, they have a harmonic curvature and a non parallel Ricci curvature, and are solutions of the singular Yamabe problem on the standard sphere punctured of two points \ $S^n - \(p_1,p_2 \). $\ One also examines their asymptotic properties. Moreover, for some values of \ $n \ = 3,4 $\ or \ $6 $\ one can determine these metrics explicitly. One is also interested in the problem of existence of warped metrics of A. Derdzinski. (\it [P11], [P15]).\\ * Finally, in the last part, one considers the isoperimetric inequalities of Bonnesen type in relation with conjectures of P. Lévy and X.M. Zhang on plane polygons. In particular, we propose a more general conjecture . (\it [P2], [P9], [P18]).
(\bf RESUME) \footnote(Les références sont celles de la liste des publications.) \end(center) * Dans la première, on examine les propriétés de la fonction elliptique\\ $\wp(z,\omega,\omega')$\ de Weierstrass et les fonctions \ $\theta(v,\tau)$ \ classiques, à la lumière d'un nouveau développement trigonométrique. On détermine explicitement les coefficients en fonction de \ $\tau$, qui sont en fait des fonctions hypergéométriques. (\it [P1], [P6]). \\ Cela permet en particulier une nouvelle construction de la théorie des fonctions elliptiques et de retrouver certaines propriétés. Notamment, celle concernant la fonction zeta de Jacobi \ $Zn(z,k).$\ Aussi, on met en évidence des relations modulaires entre ces coefficients. \ (\it [P7], [P19], [P22]). * Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux solutions\ périodiques \ de \ certaines\ équations\ différentielles\ ordinaires et, plus précisèment à la croissance de la fonction période dépendant de l'énergie et, aux conditions de sa monotonie. Nous mettons en évidence une nouvelle condition suffisante. (\it [P5]). On montre en particulier que tous les critères connus - à savoir ceux de Chow, Schaaf Chicone et Rothe - ne sont pas optimaux. (\it [P8]).\\ On s'intéresse aussi à la monotonie de la période du système de Liénard avec un centre à l'origine.On donne en particulier une preuve plus simple d'un résultat de Christopher et Devlin. (\it [T30] ) En utilisant des séries trigonométriques, on montre l'existence de solutions périodiques pour une équation de type Duffing perturbée. (\it [P10], [P12]).\\ Enfin, on utilise avec succès une méthode de Farkas concernant la controllabilité de la période pour montrer l'existence d'une solution périodique de l'équation de Liénard perturbée. (\it [P13] ). * Dans la troisième partie, nous mettons en évidence les propriétés des courbures riemannienne et de Ricci de certaines métriques à courbure scalaire constante positive, ainsi que leurs singularités. (\it [P3], [P4]).\\ Ces métriques en nombre fini sont appelées pseudo-cylindriques. De plus, elles ont une courbure harmonique et une courbure de Ricci non paralléle, et sont solutions du problème de Yamabe singulier sur la sphère standard privée de deux points\ $S^n -\(p_1,p_2\).$ \ On examine aussi leurs propriétés asymptotiques. De plus, pour certaines valeurs de \ $n \ =3,4$\ ou\ $6$ \ on peut déterminer ces métriques explicitement. On s'intéresse aussi au problème d'existence de métriques tordues de A. Derdzinski. (\it [P11], [P15]). * Enfin, dans la dernière partie, on considère des inégalités isopérimètriques de type Bonnesen en rapport avec des conjectures de P. Lévy et de X.M. Zhang sur des polygones plans. Nous proposons en particulier une conjecture plus générale.\ (\it [P2], [P9], [P18]).
Mots clés
Fonction elliptique de Weierstrass
fonctions théta
développements trigonométriques
fonction energie-période
centre isochrone
equations différentielles ordinaires perturbées
equation de Liénard
métriques pseudo-cylindriques
courbure harmonique
problème de yamabe singulier
inégalités de Bonnesen.
inégalités de Bonnesen