Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux télécommunications. Calcul Stochastique relativement à des processus fractionnaires.
Résumé
The fractional Brownian motion (fBm) has become a key process as soon as one wants to free oneself from the Markov and independence of increments properties. We have given the main properties of this process and we have insisted on certain aspects of its use as fluid queue model. Then, we have developed construction of an anticipative integral with respect to fBm from an anticipative integral with respect to the Brownian motion. Then, we have introduced an anticipative integral with respect to filtered Poisson process (fPp) from an anticipative integral with respect to marked Poisson process, an integral that we have connected to the Stieltjès integral. Our study has gone on with an Itô formula for cylindrical functional and a Hölder continuity theorem for integrated processes. To conclude, a weak convergence theorem for a sequence of fPp to a Volterra Process has been established.
Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) est devenu un processus incontournable dès que l'on veut s'affranchir des propriétés de Markov et d'indépendance des accroissements. Nous verrons les principales propriétés de ce processus, nous insisterons sur certains aspects de son utilisation comme modèle de file fluide. On développe ensuite la construction d'une intégrale anticipative relative au mBf à partir de l'intégrale anticipative relative au mouvement Brownien. Fort de cette idée, nous avons introduit une intégrale anticipative relative à des processus de Poissons filtrés (pPf) à partir d'une intégrale anticipative pour des processus de Poissons marqués, intégrale que nous relions à l'intégrale de Stieltjès. L'étude se poursuit par une formule de Itô pour des fonctionnelles cylindriques et par un résultat sur la continuité de Holdër des processus intégrés. Pour finir, un théorème de convergence en loi d'une suite de pPf vers un processus de Volterra est établi.