Equations aux dérivées partielles elliptiques du quatrième ordre avec exposants critiques de Sobolev sur les variétés riemanniennes avec et sans bord

Daniela Caraffa Bernard (1)

1 Analyse Complexe

The subject of this thesis consists in the study, on compact riemmannian manifold $(V_n,g)$ of dimension $n>4$, of elliptic partial differential equation $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ in which $a$,$h$,$f$ are $C^\infty $ fonctions with $f(x)$ constant fonction or everywhere strictly positive and $N=(2n\over((n-4)))$ is the critical exponent.Using the variational method, we prove on the main theorem that the equation (E) has non zero solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ if a certain condition which depends on the best constant in the Sobolev inequality ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) is respected. Moreover, we prove that if $a$ and $h$ are accurate constant fonctions, the solution of the equation is positive and $C^\infty $. When $n\geq 6$, we present some applications of main theorem. In the last part we work on a compact riemannian manifold with boundary of dimension n, $(\overline(W)_n,g )$, we study the problem $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(on)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(on) \;\partial W \end(array)\right.$$ in which $\delta$, $\eta$ and $f$ are $C^\infty (\overline (W))$ fonctions with $f(x)$ everywhere strictly positive and we prove the existence of the solution for the problem $P_N$.

L'objet de cette thèse est l'étude, sur les variétés riemanniennes compactes $(V_n,g)$ de dimension $n>4$, de l'équation aux dérivées partielles elliptique de quatrième ordre $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ où $a$, $h$, $f$ sont fonction $C^\infty $, avec $f(x)$ fonction constante ou partout positive et $N=(2n\over((n-4)))$ est l'exposant critique. En utilisant la méthode variationnelle on prouve dans le théorème principal que l'équation $(E)$ admet une solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ non nulle si une certaine condition qui dépend de la meilleure constante dans les inclusion de Sobolev ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) est satisfaite. De plus on montre que si $a$ et $h$ sont des fonctions constantes bien précisées la solution de l'équation est positive et $C^\infty(V)$. Lorsque $n\geq 6$, on donne aussi des applications du théorème principal. Dans la dernière partie de cette thèse sur une variété riemannienne compacte à bord de dimension $n$, $(\overline(W)_n,g )$ nous nous intéressons au problème : $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(sur)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(sur) \;\partial W \end(array)\right.$$ avec $\delta$,$\eta$,$f$ fonctions $C^\infty (\overline (W))$ avec $f(x)$ fonction partout positive et on démontre l'existence d'une solution non triviale pour le problème $(P_N)$.

Mots clés: EDP elliptiques de quatrième ordre; Problèmes elliptiques non linéaires du quatrième ordre; Elliptic partial differential equations; Elliptic PDE; Non linear elliptic problems of fourth order; Problèmes critiques non linéaires; Non linear critical problems; Quatrième ordre; Fourth order; Variétés riemanniennes compactes; Compact riemannian manifolds; Exposant critique de Sobolev; Critical Sobolev exponent

Domaines: Mathématiques [math]

Daniela Caraffa Bernard. Equations aux dérivées partielles elliptiques du quatrième ordre avec exposants critiques de Sobolev sur les variétés riemanniennes avec et sans bord. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00003179⟩