Arithmetic problems relating to certain families of curves on finite fields

Problèmes arithmétiques relatifs à certaines familles de courbes sur les corps finis

Christophe Ritzenthaler (1)

1 Théorie des nombres

This thesis is divided in three parts. The first one deals with the automorphisms group of modular curves X(N), N prime, over F_p, p not equal to N. We prove that for p>3 and X(N) ordinary, this group is PSL_2(Z/NZ). Also the cases N=7,11,13 are completely done. The second part deals with optimal curves. We show that N_3(5)=13 and we study the geometric properties (automorphisms group and coverings) of a curve attaining this bound. In particular, we give explicit coverings (of degree 3 and 4) over elliptic curves. The last part is an extension of the AGM method for points counting in characteristic 2 on an ordinary non hyperelliptic genus 3 curve. We prove a formula linking the quotient of theta constants and the product of the 2-adic unities eigenvalues of the Frobenius. We give an algorithm to compute algebraically the initial quotients, a good model for computations (i.e such that computations stay in a fixed unramified extension of Q_2) and we show how to find the characteristic polynom with LLL.

Cette thèse comporte trois parties. La première traite du groupe des automorphismes des courbes modulaires X(N), N premier, sur F_p, p différent de N. On y démontre que, pour p>3 et X(N) ordinaire, ce groupe est exactement PSL_2(Z/NZ). On traite également complètement les cas N=7,11,13. La deuxième partie concerne les courbes optimales. On y montre que N_3(5)=13 et on étudie les propriétés géométriques (groupe d'automorphismes et revêtements) d'une courbe atteignant cette borne. La dernière partie est une extension de la méthode AGM pour le calcul du nombre de points en caractéristique 2 sur une courbe de genre 3 ordinaire et non hyperelliptique. On y démontre la formule reliant les rapports de thêta constantes au produit des valeurs propres du Frobenius unités 2-adiques. On donne un algorithme pour le calcul algébrique des rapports initiaux, un bon modèle de calcul (i.e tel que les calculs s'effectuent dans une extension non ramifiée fixe de Q_2) et on montre comment retrouver le polynôme caractéristique grâce à LLL.

Mots clés: méthode AGM

Mots clés: courbe maximale; quartique; comptage de points; genre 3; non hyperelliptique; automorphismes; courbe modulaire

Domaines: Mathématiques [math]

Christophe Ritzenthaler. Problèmes arithmétiques relatifs à certaines familles de courbes sur les corps finis. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00003070⟩