Approximation des Phases Aléatoires Self-Consistante dans le Modèle de Hubbard
Résumé
The so-called Self-Consistent RPA (SCRPA) is applied to rticle-hole
correlation functions in the Hubbard model.
For a general many-body Green's function, this method is obtained by establishing a Dyson Equation, and by replacing the full mass operator by its instantaneous contributions. The Green's function is then given in terms of a system of non-linear integral equations which can be solved self-consistently. The solution satisfies the energy-weighted sum rule and several other theorems. For single- and two-particle Green's functions, the approach is shown to be connected to a variational principle.
The charge and longitudinal spin correlation functions in the Hubbard model are treated in SCRPA. Neglecting the connected two-body densities in its mass operator yields another, simpler self-consistent theory, the renormalized RPA. Both approaches are discussed and compared to standard RPA.
In the one-dimensional Hubbard model, the renormalized RPA is
established and solved numerically for charge-density correlation
functions. The charge and the longitudinal spin susceptibility, the
momentum distribution function and several ground state properties are calculated and compared to the exact results. At half band filling and for strong interactions, the renormalized RPA has an analytic solution which agrees, apart from a prefactor, with the corresponding series expansion of the Bethe ansatz solution. As expected, specific one-dimensional features, such as Luttinger liquid behaviour, could not be reproduced. Our approach provides a rather generic description, which could be quite realistic in higher dimensions.
Parts of this work can be found in
"Dyson Equation Approach to Many-Body Greens Functions and
Self-Consistent RPA, First Application to the Hubbard Model"
Steffen Schäfer, Peter Schuck, Phys. Rev. B 59, 1712-1733 (1999).
correlation functions in the Hubbard model.
For a general many-body Green's function, this method is obtained by establishing a Dyson Equation, and by replacing the full mass operator by its instantaneous contributions. The Green's function is then given in terms of a system of non-linear integral equations which can be solved self-consistently. The solution satisfies the energy-weighted sum rule and several other theorems. For single- and two-particle Green's functions, the approach is shown to be connected to a variational principle.
The charge and longitudinal spin correlation functions in the Hubbard model are treated in SCRPA. Neglecting the connected two-body densities in its mass operator yields another, simpler self-consistent theory, the renormalized RPA. Both approaches are discussed and compared to standard RPA.
In the one-dimensional Hubbard model, the renormalized RPA is
established and solved numerically for charge-density correlation
functions. The charge and the longitudinal spin susceptibility, the
momentum distribution function and several ground state properties are calculated and compared to the exact results. At half band filling and for strong interactions, the renormalized RPA has an analytic solution which agrees, apart from a prefactor, with the corresponding series expansion of the Bethe ansatz solution. As expected, specific one-dimensional features, such as Luttinger liquid behaviour, could not be reproduced. Our approach provides a rather generic description, which could be quite realistic in higher dimensions.
Parts of this work can be found in
"Dyson Equation Approach to Many-Body Greens Functions and
Self-Consistent RPA, First Application to the Hubbard Model"
Steffen Schäfer, Peter Schuck, Phys. Rev. B 59, 1712-1733 (1999).
La RPA Self-Consistante (SCRPA) est appliquée aux fonctions de corrélation particule-trou dans le Modèle de Hubbard.
Pour une fonction de Green générale à $n$ corps cette méthode se dérive à partir de l'Equation de Dyson où seules sont retenues les contributions instantanées de l'opérateur de masse. La fonction de Green est alors donnée par un système d'équations intégrales non-linéaires que l'on cherchera à résoudre de façon self-consistante. Elle satisfait, parmi d'autres théorèmes, la règle de somme pondérée par l'énergie. Pour les fonctions de Green à une et à deux particules, la SCRPA obéit à un principe variationnel. Dans le Modèle de Hubbard les fonctions de corrélation de charge et de spin sont calculées en SCRPA. En négligeant les densités connectées à deux corps, nous obtenons une théorie self-consistante plus simple, la RPA renormalisée. Les deux méthodes sont étudiées et comparées à la RPA standard.
Nous établissons et résolvons numériquement les équations de la RPA renormalisée pour les fonctions de corrélations de densité de charge dans le Modèle de Hubbard à une dimension. Les susceptibilités de charge et de spin longitudinal, la distribution des impulsions et plusieurs propriétés du fondamental sont évaluées et comparées aux résultats exacts. Dans la limite du couplage fort de la bande à moitié remplie, la RPA renormalisée possède une solution analytique qui est, à un facteur près, en accord avec le développement pour fortes interactions de l'ansatz de Bethe. Comme prévu, des particularités liées à la dimension spatiale $1$, par exemple un comportement de liquide de Luttinger, n'ont pas pu être retrouvées. Or, la description fournie par notre méthode pourrait être assez réaliste en dimensions plus élevées.
Une partie de ces travaux a été publié dans
"Dyson Equation Approach to Many-Body Greens Functions and
Self-Consistent RPA, First Application to the Hubbard Model"
Steffen Schäfer, Peter Schuck, Phys. Rev. B 59, 1712-1733 (1999).
Pour une fonction de Green générale à $n$ corps cette méthode se dérive à partir de l'Equation de Dyson où seules sont retenues les contributions instantanées de l'opérateur de masse. La fonction de Green est alors donnée par un système d'équations intégrales non-linéaires que l'on cherchera à résoudre de façon self-consistante. Elle satisfait, parmi d'autres théorèmes, la règle de somme pondérée par l'énergie. Pour les fonctions de Green à une et à deux particules, la SCRPA obéit à un principe variationnel. Dans le Modèle de Hubbard les fonctions de corrélation de charge et de spin sont calculées en SCRPA. En négligeant les densités connectées à deux corps, nous obtenons une théorie self-consistante plus simple, la RPA renormalisée. Les deux méthodes sont étudiées et comparées à la RPA standard.
Nous établissons et résolvons numériquement les équations de la RPA renormalisée pour les fonctions de corrélations de densité de charge dans le Modèle de Hubbard à une dimension. Les susceptibilités de charge et de spin longitudinal, la distribution des impulsions et plusieurs propriétés du fondamental sont évaluées et comparées aux résultats exacts. Dans la limite du couplage fort de la bande à moitié remplie, la RPA renormalisée possède une solution analytique qui est, à un facteur près, en accord avec le développement pour fortes interactions de l'ansatz de Bethe. Comme prévu, des particularités liées à la dimension spatiale $1$, par exemple un comportement de liquide de Luttinger, n'ont pas pu être retrouvées. Or, la description fournie par notre méthode pourrait être assez réaliste en dimensions plus élevées.
Une partie de ces travaux a été publié dans
"Dyson Equation Approach to Many-Body Greens Functions and
Self-Consistent RPA, First Application to the Hubbard Model"
Steffen Schäfer, Peter Schuck, Phys. Rev. B 59, 1712-1733 (1999).