Sur des systèmes dynamiques dissipatifs de type gradient. Applications en Optimisation.
Résumé
This work is intended to introduce and to study new gradient-like dynamical systems.
The dissipative aspects of those kind of dynamics stand at the crossroads
of many field in Analysis : Optimization, Mechanics, PDE.
A first part of the work is devoted to the construction of mappings that are able
to control gradient (or subdifferntial vector fields). They are called barrier-operators.
One of the main motivation is to derive interior descent methods. The abstract
framework that is proposed allow to recover many dynamics : projected
gradient, Riemannian methods, continuous Newton method, Lotka-Volterra based
dynamics ... Within such a setting, we may evoke several results concerning strong
viability, well-posedness, and global convergence.
Keeping in mind the fact that "good" trajectories are those that remain
in the feasible set : it is natural to pay a particular attention to hessian Riemannian
structure induced by Legendre functions. Those Riemannian manifolds enjoys
many properties, and may be characterized as "the metrics that are the more
appropriate to solve, a certain class of variational inequalities" . Another
interesting aspects, is that those type of structure has a sense in Hilbert Spaces :
it corresponds to some well-known subdifferntial formulation of some
parabolic equations arising in Thermodynamic.
The second part oif the thesis is devoted to the study of second-order in time
gradient method. It is shown that the use of Hessian-driven damping yields a
nice class of dynamical systems.
A first interest of those methods, is to give rise to non-descent methods with
convergent trajectories. Indeed, if one follows some minimization purposes,
it may be interesting to avoid local minima in order to attain a global minimum.
The dissipative aspects of those kind of dynamics stand at the crossroads
of many field in Analysis : Optimization, Mechanics, PDE.
A first part of the work is devoted to the construction of mappings that are able
to control gradient (or subdifferntial vector fields). They are called barrier-operators.
One of the main motivation is to derive interior descent methods. The abstract
framework that is proposed allow to recover many dynamics : projected
gradient, Riemannian methods, continuous Newton method, Lotka-Volterra based
dynamics ... Within such a setting, we may evoke several results concerning strong
viability, well-posedness, and global convergence.
Keeping in mind the fact that "good" trajectories are those that remain
in the feasible set : it is natural to pay a particular attention to hessian Riemannian
structure induced by Legendre functions. Those Riemannian manifolds enjoys
many properties, and may be characterized as "the metrics that are the more
appropriate to solve, a certain class of variational inequalities" . Another
interesting aspects, is that those type of structure has a sense in Hilbert Spaces :
it corresponds to some well-known subdifferntial formulation of some
parabolic equations arising in Thermodynamic.
The second part oif the thesis is devoted to the study of second-order in time
gradient method. It is shown that the use of Hessian-driven damping yields a
nice class of dynamical systems.
A first interest of those methods, is to give rise to non-descent methods with
convergent trajectories. Indeed, if one follows some minimization purposes,
it may be interesting to avoid local minima in order to attain a global minimum.
L'étude et l'introduction de nouveaux systèmes dynamiques
de type gradient sont l'objet central de cette thèse. Le
caractère dissipatif de telles dynamiques est au coeur de
nombreux domaines en mathématiques : optimisation,
mécanique, équations d'évolutions en dimension infinie.
Dans une première partie, les champs de gradients (ou de sous-différentiels
de fonction convexe) sont contrôlés à l'aide d'opérateurs-barrières.
La motivation essentielle est d'obtenir
des méthodes intérieures de descente en vue d'optimiser
une fonction sous des contraintes convexes. Le cadre
d'étude proposé permet d'unifier dans un même formalisme de nombreuses
méthodes continues : gradient projeté, plus grande pente riemannienne,
méthode continue de Newton... Parmi les conséquences de
la généralisation proposée, on peut, par exemple, évoquer des
résultats abstraits de viabilité et de convergence globale. Toujours
dans cette
perspective, les fonctions de Legendre jouent un rôle crucial~:
elles permettent d'une part de donner lieu à des structures
riemanniennes possédant de nombreuses propriétés - parmi lesquelles une
propriété d'intégration caractéristique remarquable -, et d'autre part,
elles fournissent en dimension infinie un cadre intéressant
pour l'étude de certaines équations d'évolution de type
parabolique.
La deuxième partie est consacrée à l'étude de systèmes
dynamiques du second ordre en temps avec une dissipation géométrique
de type hessien. Outre leur intérêt en optimisation
et leurs liens avec les méthodes de type Newton, ces systèmes
sont d'une grande souplesse et permettent d'approcher certains
phénomènes non-lisses en mécanique unilatérale. En guise d'application,
il est en effet prouvé que les systèmes considérés permettent
d'obtenir à la limite des dynamiques
satisfaisant des lois de chocs inélastiques. Les
perspectives de cette étude ouvrent en particulier la voie à une approche
alternative de certains systèmes d'inégalités variationnelles de type
hyperbolique.
L'une des préoccupations majeures de cette thèse est la question
de la convergence des orbites des systèmes étudiés. Dans le
cadre de la minimisation convexe, quasi-convexe, ou analytique, de nombreux
résultats sont proposés : convergence globale, ,
vitesse de convergence, contrôle asymptotique, attractivité des
minima sous contraintes en dimension infinie.
de type gradient sont l'objet central de cette thèse. Le
caractère dissipatif de telles dynamiques est au coeur de
nombreux domaines en mathématiques : optimisation,
mécanique, équations d'évolutions en dimension infinie.
Dans une première partie, les champs de gradients (ou de sous-différentiels
de fonction convexe) sont contrôlés à l'aide d'opérateurs-barrières.
La motivation essentielle est d'obtenir
des méthodes intérieures de descente en vue d'optimiser
une fonction sous des contraintes convexes. Le cadre
d'étude proposé permet d'unifier dans un même formalisme de nombreuses
méthodes continues : gradient projeté, plus grande pente riemannienne,
méthode continue de Newton... Parmi les conséquences de
la généralisation proposée, on peut, par exemple, évoquer des
résultats abstraits de viabilité et de convergence globale. Toujours
dans cette
perspective, les fonctions de Legendre jouent un rôle crucial~:
elles permettent d'une part de donner lieu à des structures
riemanniennes possédant de nombreuses propriétés - parmi lesquelles une
propriété d'intégration caractéristique remarquable -, et d'autre part,
elles fournissent en dimension infinie un cadre intéressant
pour l'étude de certaines équations d'évolution de type
parabolique.
La deuxième partie est consacrée à l'étude de systèmes
dynamiques du second ordre en temps avec une dissipation géométrique
de type hessien. Outre leur intérêt en optimisation
et leurs liens avec les méthodes de type Newton, ces systèmes
sont d'une grande souplesse et permettent d'approcher certains
phénomènes non-lisses en mécanique unilatérale. En guise d'application,
il est en effet prouvé que les systèmes considérés permettent
d'obtenir à la limite des dynamiques
satisfaisant des lois de chocs inélastiques. Les
perspectives de cette étude ouvrent en particulier la voie à une approche
alternative de certains systèmes d'inégalités variationnelles de type
hyperbolique.
L'une des préoccupations majeures de cette thèse est la question
de la convergence des orbites des systèmes étudiés. Dans le
cadre de la minimisation convexe, quasi-convexe, ou analytique, de nombreux
résultats sont proposés : convergence globale, ,
vitesse de convergence, contrôle asymptotique, attractivité des
minima sous contraintes en dimension infinie.
Mots clés
Mots-clés: systèmes dynamiques dissipatifs
systèmes de type gradient
inclusions différentielles
<br /> analyse asymptotique
méthode de Newton continue
minimisation convexe
<br />chocs inélastiques
<br /> gradient-projeté
fonctions de Legendre
opérateurs barrières
équations paraboliques
<br /> métriques hessiennes
fonctions de Lyapounov
méthodes proximales.
méthodes proximales