A. Remarque, 1.8.? Dans cette preuve, lorsque C est un sous-anneau de B, et S un système multiplicatif de C formé d'´ eléments inversibles de B
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. Preuve, A. Soient, Y. De, and X. L. Celui-de, implication 2 ? 1 estévidenteestévidente, et on s'occupe donc de la réciproque. D'après le lemme A.1.5, pour tout point x de X, il existe un ouvert affine U de X contenant x tel que A(U )/A est essentiellement de type fini. Par ailleurs, il existe un ouvert principal U inclus dans U et contenant x, Alors, le morphisme A(U ) ? A(U ) est de type fini, et donc A(U )/A est encore essentiellement de type fini

X. Puisque, on peut supposer qu'il existe un nombre fini d'´ eléments b 1 , ..., b n de B tels que les ouverts D(b i ) recouvrent X et tels que B b i /A est essentiellement de type fini. La condition que les ouverts D(b i ) recouvrent X estéquivalentèestéquivalentè a l'existence d'un 1

A. 1. Remarque, On rappelle que si A est un anneau, et O une A-algèbre locale, d'après [EGA4] 1.3.10, le fait que O/A est essentiellement de type finí equivautàequivautà l'existence d'un entier naturel n, d'un idéal premier q de A[t 1

A. Remarque, 1.11.? Soit O est une k-algèbre locale réduite
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S. O. Alors, On fera attention que si E/k est de type fini, O/k n'est pas nécessairement essentiellement de type fini comme il nous a ´ eté signalé par B.Kahn. En effet, il existe des extensions de type fini de k munie de valuations de rang 2. L'anneau de valuation correspondant n'est donc pas noethérien, et a fortiori pas essentiellement de type fini sur k. Il nous a semblé que par contre, que si l'on se donne O un anneau local régulier noethérien qui contient k, de corps des fractions E, le fait d'? etre essentiellement de type fini sur k ´ equivaut au fait que E/k soit une extension de type fini, en s'appuyant sur le fait que O est alors factoriel, Mais nous n'avons pas pu démontrer cette assertion

A. Définition, 1 Soit X un S-schéma. On dit que X est essentiellement lisse (resp. essentiellementétaleessentiellementétale) sur S si et seulement si X est formellement lisse (resp. formellementétaleformellementétale) et essentiellement de type fini sur S

. Preuve, En effet, les deux hypothèses entra??nententra??nent que X est intègre et noethérien. Il résulte alors de [EGA4], 19.6.4 que X est formellement lisse sur k si et seulement si il est régulier

C. Définition, 1.4 Soit A une catégorie abélienne Nous dirons que A est de Grothendieck si et seulement si A vérifie l'axiome AB5 (cf loc.cit., 1.5) et admet une famille de générateurs

C. Exemple, 1.6.? Soit C une catégorie essentiellement petite (ie les classes d'isomorphismes d'objets de C forment un ensemble) La catégorie des foncteurs C ? A b (resp. foncteurs additifs)

C. Lemme, 1.7 Soient A et B deux catégories additives. Soient F : A ? B et G : B ? A des foncteurs tels que F est adjointàadjointà gauche de G. On suppose que F est exactàexactà gauche

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