A Morse-Bott approach to contact homology
Résumé
Contact homology was introduced by Eliashberg, Givental and Hofer. In this theory, we count holomorphic curves in the symplectization of a contact manifold, which are asymptotic to periodic Reeb orbits. These closed orbits are assumed to be nondegenerate and, in particular, isolated. This assumption makes practical computations of contact homology very difficult.
In this thesis, we develop computational methods for contact homology in Morse-Bott situations, in which closed Reeb orbits form
submanifolds of the contact manifold. We require some Morse-Bott type assumptions on the contact form, a positivity property for
the Maslov index, mild requirements on the Reeb flow, and
$c_1(\xi) = 0$.
We then use these methods to compute contact homology for several examples, in order to illustrate their efficiency. As an application of these contact invariants, we show that $T^5$ and $T^2 \times S^3$ carry infinitely many pairwise non-isomorphic
contact structures in the trivial formal homotopy class.
In this thesis, we develop computational methods for contact homology in Morse-Bott situations, in which closed Reeb orbits form
submanifolds of the contact manifold. We require some Morse-Bott type assumptions on the contact form, a positivity property for
the Maslov index, mild requirements on the Reeb flow, and
$c_1(\xi) = 0$.
We then use these methods to compute contact homology for several examples, in order to illustrate their efficiency. As an application of these contact invariants, we show that $T^5$ and $T^2 \times S^3$ carry infinitely many pairwise non-isomorphic
contact structures in the trivial formal homotopy class.
L'homologie de contact a ete introduite par Eliashberg, Givental et
Hofer. Dans cette theorie, on compte des courbes pseudo-holomorphes dans la symplectisation d'une variete de contact, qui convergent a l'infini vers des orbites fermees du champ de Reeb. Ces orbites sont supposees non degenerees et, en particulier, isolees. Cette hypothese rend le calcul de l'homologie de contact tres difficile.
L'objet de cette these est de developper des techniques de calcul pour l'homologie de contact dans des situations de type Morse-Bott, dans lesquelles les orbites de Reeb fermees forment des sous-varietes de la variete de contact. On demande une hypothese de type Morse-Bott sur la forme de contact, une propriete de positivite pour l'indice de Maslov, des restrictions generales sur le flot de Reeb, et $c_1(\xi) = 0$.
On utilise ensuite ces methodes pour calculer l'homologie de contact dans plusieurs exemples, pour illuster leur efficacite. On utilise ces invariants de contact pour montrer que $T^5$ et $T^2 \times S^3$ possedent une infinite de structures de contact deux a deux non isomorphes, dans la classe d'homotopie formelle triviale.
Hofer. Dans cette theorie, on compte des courbes pseudo-holomorphes dans la symplectisation d'une variete de contact, qui convergent a l'infini vers des orbites fermees du champ de Reeb. Ces orbites sont supposees non degenerees et, en particulier, isolees. Cette hypothese rend le calcul de l'homologie de contact tres difficile.
L'objet de cette these est de developper des techniques de calcul pour l'homologie de contact dans des situations de type Morse-Bott, dans lesquelles les orbites de Reeb fermees forment des sous-varietes de la variete de contact. On demande une hypothese de type Morse-Bott sur la forme de contact, une propriete de positivite pour l'indice de Maslov, des restrictions generales sur le flot de Reeb, et $c_1(\xi) = 0$.
On utilise ensuite ces methodes pour calculer l'homologie de contact dans plusieurs exemples, pour illuster leur efficacite. On utilise ces invariants de contact pour montrer que $T^5$ et $T^2 \times S^3$ possedent une infinite de structures de contact deux a deux non isomorphes, dans la classe d'homotopie formelle triviale.
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