Espaces profinis et problèmes de réalisabilité de structures algébriques comme cohomologie d'un espace topologique
Résumé
\medskip\noindent {\it Abstract.~} We show that a translation into the framework of F. Morel's homotopy theory of profinite spaces of a method due to L. Schwartz leads to a proof at the prime $2$ of N. Kuhn's conjecture that asserts that the Steenrod algebra's action on the finite field cohomology of a space has to be either locally finite or non polynomial. To this end, we introduce an Eilenberg-Moore spectral sequence for profinite spaces (this part is joint work with F.-X. Dehon). \smallskip\noindent By construction, this spectral sequence is always convergent in the naive sense. We show that an analog of W. Dwyer's strong convergence theorem holds in the profinite case. To simplify some technical points, we prove that the homotopical algebra of profinite spaces is {\it proper}. \smallskip\noindent We also show the following algebraic version of N. Kuhn's conjecture~: a connected unstable algebra with non-nilpotent augmentation ideal has an infinite Loewy series 'up to nilpotent elements'. \smallskip\noindent We also prove that some unstable modules are not topologically realizable by elementary considerations.
\medskip\noindent{\it Résumé.~} En utilisant une méthode due à L. Schwartz, nous établissons une conjecture due à N. Kuhn qui affirme que l'action de l'algèbre de Steenrod sur la cohomologie d'un espace topologique à coefficients dans le corps premier $\mathbb{F} _2$ est soit localement finie, soit non polynômiale. Pour cela, nous construisons une suite spectrale d'Eilenberg-Moore dans le cadre de la théorie homotopique des espaces profinis de F. Morel (cette partie du travail est une collaboration avec F.-X. Dehon). \smallskip\noindent Nous démontrons pour cette suite spectrale, qui converge toujours au sens naïf, un théorème de convergence forte, dans l'esprit de celui de W. G. Dwyer. Nos preuves sont simplifiées par la propreté du calcul homotopique des espaces profinis, que nous établissons. \smallskip\noindent Nous montrons également qu'une algèbre instable connexe dont l'idéal d'augmentation n'est pas localement nilpotent admet une série de Loewy infinie 'aux nilpotents près'. \smallskip\noindent Enfin, nous donnons quelques exemples de modules instables non réalisables en utilisant des méthodes élémentaires.