Asymptotic solutions and resonances for Klein-Gordon and Schrödinger operators
Résumé
My PhD thesis deals with semi-classical analysis. It is divided in three parts. In the first one, we have considered a semi-classical Klein-Gordon operator in the one dimensional case. WKB constructions exist in the region where the potential relies below the energy level. Under some hypothesis, we have proved that these solutions can be extended beyond this region, thanks to methods used near turning points for the Schrödinger operator. We have then studied an example where explicit calculations can be made. Lastly, we have obtained new estimates for eigenfunctions in any dimension, if the gradient of the Agmon distance is lipschitzian. The second part of this work concerns resonances for the Schrödinger operator in the one dimensional case. When the potential presents two compact wells and a infinite one, for energy level under consideration, we have obtained conditions for anti-crossing of resonances as well as there graphics. This can be done constructing modes for the operator. For any given number of compact wells, it also led to estimates for imaginary part of resonances, when an simple interaction occurs. Finally, in the third part of this work, we have considered a Schrödinger operator which potential presents a non degenerate maximum. We have studied resonances generated by an homocline curve which contains this maximum. In the one dimansional case, a quantification equation which led to the resonances we look for is obtained. In the n-dimensional case, an out-going asymptotic solution along the curve is constructed, by adapting B. Helffer and J. Sjöstrand's method for the bottom of non resonant wells. An FBI transform allows then to guess a first level of résonances.
Mon travail de thèse se situe dans le cadre de l'analyse semi-classique. Il se divise en trois parties. Dans la première, j'ai étudié l'opérateur de Klein-Gordon semi-classique en dimension un. Dans la zone où le potentiel reste sous le niveau d'énergie, il existe pour cet opérateur des constructions de solutions WKB, similaires à celles développées pour l'opérateur de Schrödinger. Sous certaines hypothèses, on a prolongé ces solutions hors de cette zone, grâce aux méthodes utilisées près des points tournants pour l'opérateur de Schrödinger. On a ensuite étudié un exemple pour lequel on peut faire des calculs explicites. Enfin, en dimension quelconque, on a obtenu une nouvelle majoration des fonctions propres, lorsque la distance d'Agmon associée à cet opérateur a un gradient lipschitzien. La deuxième partie concerne l'opérateur de Schrödinger et l'étude des résonances en dimension un. Lorsque le potentiel présente deux puits et une mer pour les niveaux d'énergies considérés, on a obtenu des conditions de non croisement des résonances ainsi que leur graphe, grâce à la construction de modes. En présence d'un nombre quelconque de puits, cela permet également de calculer une estimation de la partie imaginaire des résonances dans le cas d'une interaction simple. Enfin, dans la troisième partie, on considère un opérateur de Schrödinger dont le potentiel présente un maximum non dégénéré. On a étudié les résonances générées par une courbe homocline qui passe par ce maximum. En dimension un, on a obtenu une condition de quantification, et par suite les résonances recherchées. En dimension quelconque, on a construit une solution asymptotique sortante le long de cette courbe, en adaptant la méthode de B. Helffer et J. Sjöstrand pour le fond de puits non résonnant. Une transformation FBI permet ensuite de conjecturer un premier niveau de résonances.