Cônes positifs des variétés complexes compactes
Résumé
There are two notions of positivity for (1,1)-cohomology classes on a complex manifold: numerical effectivity, which is induced by the Lelong positivity at the level of differential forms, and pseudoeffectivity, which is a weaker property induced by the positivity of currents. In a first part, we build local obstructions to the numerical effectivity of a pseudoeffective cohomology class, which enables us to decompose it into a nef part and an exceptional divisor. We then consider the volume of a line bundle, which is an invariant measuring its positivity. We give a differential geometric interpretation of the volume, and we inscribe it into a ``mobile intersection'' theory, which only deals with the nef parts of the cohomology classes. Finally, we study the case when the manifold is a surface or is hyperkähler, where the geometry of the intersection form allows a more detailed description of these constructions.
On dispose de deux notions de positivité pour les (1,1)-classes de cohomologies d'une variété complexe: l'effectivité numérique, induite par la positivité au sens de Lelong des formes différentielles, et la pseudoeffectivité, plus faible, induite par celle des courants. Dans une première partie, nous construisons des obstructions locales à l'effectivité numérique d'une classe pseudoeffective, ce qui permet de la décomposer en une partie nef en codimension un et un diviseur exceptionnel. Dans un second temps, nous nous intéressons au volume d'un fibré en droites, qui est un invariant mesurant sa positivité. Nous en donnons une interprétation en terme de géométrie différentielle, et nous montrons comment ce volume s'inscrit dans une théorie de l'``intersection mobile'', qui ne conserve que les parties numériquement effectives des classes de cohomologie. Finalement, nous étudions le cas des surfaces et des variétés hyperkähleriennes, pour lesquelles la géométrie de la forme d'intersection permet une description plus détaillée de ces constructions.