Sur les invariants des pinceaux de quintiques binaires
Résumé
Let B be the homogeneous coordinate ring of the Grassmannian of
pencils of binary quintics. We are interested in the invariant of the
natural action of SL_2 on B. The quotient variety Proj(B^SL_2) is a
natural applicant for the moduli space of quintic rational space
curves.
It is known that the Grassmannian of pencils of binary quantics of
degree d and the projective space of binary quantics of degree 2d-2
are birationally equivalent; this correspondence is SL_2-equivariant.
When d is 5, it suggests to compare the algebra B^SL_2 and the
invariant algebra of the octavic. This algebra was described with
meticulous care by T. Shioda in 1967.
We establish for B^SL_2 similar results to Shioda's ones: The algebra
B^SL_2 is the quotient of the polynomial algebra
R=C[x_1,x_2,x_3,x'_3,x_4,x_5,x'_5,x_6,x_7] with 9 indeterminates
(indices show indeterminates degrees) by an ideal generated by the
maximal Pfaffians of an alternate 5x5 matrix; We find (numerically)
the minimal free resolution of the R-module B^SL_2; Finally, we get
minimal generators of the algebra B^SL_2.
To succeed, we first extend T. Springer's formula (for the Poincaré
series of the invariant algebra of a binary quantic) to the
homogeneous coordinate ring of a Grassmannian.
The following point consists in the identification of a homogeneous
system of parameters. It is possible thanks to the Wronskian morphism
which leads to a characterization of the stability on the
Grassmannian. Then the order 4 and degree 2 covariants must be studied
which provides a few geometric statements.
Our techniques also allow to describe the invariant algebras of
pencils of cubics and quartics. What's more the Wronskian study leads
to new plethysm formulas.
pencils of binary quintics. We are interested in the invariant of the
natural action of SL_2 on B. The quotient variety Proj(B^SL_2) is a
natural applicant for the moduli space of quintic rational space
curves.
It is known that the Grassmannian of pencils of binary quantics of
degree d and the projective space of binary quantics of degree 2d-2
are birationally equivalent; this correspondence is SL_2-equivariant.
When d is 5, it suggests to compare the algebra B^SL_2 and the
invariant algebra of the octavic. This algebra was described with
meticulous care by T. Shioda in 1967.
We establish for B^SL_2 similar results to Shioda's ones: The algebra
B^SL_2 is the quotient of the polynomial algebra
R=C[x_1,x_2,x_3,x'_3,x_4,x_5,x'_5,x_6,x_7] with 9 indeterminates
(indices show indeterminates degrees) by an ideal generated by the
maximal Pfaffians of an alternate 5x5 matrix; We find (numerically)
the minimal free resolution of the R-module B^SL_2; Finally, we get
minimal generators of the algebra B^SL_2.
To succeed, we first extend T. Springer's formula (for the Poincaré
series of the invariant algebra of a binary quantic) to the
homogeneous coordinate ring of a Grassmannian.
The following point consists in the identification of a homogeneous
system of parameters. It is possible thanks to the Wronskian morphism
which leads to a characterization of the stability on the
Grassmannian. Then the order 4 and degree 2 covariants must be studied
which provides a few geometric statements.
Our techniques also allow to describe the invariant algebras of
pencils of cubics and quartics. What's more the Wronskian study leads
to new plethysm formulas.
On s'intéresse aux invariants pour l'action naturelle du groupe SL_2
sur l'algèbre B des coordonnées homogènes de la Grassmannienne des
pinceaux de formes quintiques binaires. La variété quotient
Proj(B^SL_2) est un candidat naturel pour la variété de modules des
quintiques gauches rationnelles.
Un procédé connu établit une correspondance birationnelle et
équivariante entre la Grassmannienne des pinceaux de formes binaires
de degré d et l'espace projectif des formes binaires de degré 2d-2.
Lorsque le degré d est 5, cela suggère de comparer l'algèbre B^SL_2 et
l'algèbre des invariants d'une forme octique binaire. Cette algèbre a
été décrite en détail par T. Shioda en 1967.
Nous établissons pour B^SL_2 un résultat analogue à celui de T.
Shioda : l'algèbre B^SL_2 est le quotient de l'algèbre de polynômes à
neuf indéterminées R=C[x_1,x_2,x_3,x'_3,x_4,x_5,x'_5,x_6,x_7] (les
indices donnent les degrés des indéterminées) par l'idéal des
4-Pfaffiens d'une matrice alternée 5x5 ; on identifie (numériquement)
la résolution libre minimale du R-module B^SL_2 ; enfin, on obtient
une famille génératrice minimale de l'algèbre B^SL_2.
Pour y parvenir on commence par étendre la formule de T. Springer
(donnant la série de Poincaré de l'algèbre des invariants d'une forme
binaire) à l'algèbre des coordonnées homogènes d'une Grassmannienne.
Le point clé suivant consiste en l'identification d'un système de
paramètres homogènes. C'est possible grâce à une caractérisation, au
moyen du morphisme Wronskien, de la stabilité sur la Grassmannienne.
Il faut ensuite étudier les covariants d'ordre 4 et degré 2, ce qui
donne lieu à quelques énoncés de nature géométrique.
Ces techniques permettent également de décrire les algèbres
d'invariants des pinceaux de cubiques et quartiques. Par ailleurs
l'étude du Wronskien conduit à de nouvelles formules de pléthysme.
sur l'algèbre B des coordonnées homogènes de la Grassmannienne des
pinceaux de formes quintiques binaires. La variété quotient
Proj(B^SL_2) est un candidat naturel pour la variété de modules des
quintiques gauches rationnelles.
Un procédé connu établit une correspondance birationnelle et
équivariante entre la Grassmannienne des pinceaux de formes binaires
de degré d et l'espace projectif des formes binaires de degré 2d-2.
Lorsque le degré d est 5, cela suggère de comparer l'algèbre B^SL_2 et
l'algèbre des invariants d'une forme octique binaire. Cette algèbre a
été décrite en détail par T. Shioda en 1967.
Nous établissons pour B^SL_2 un résultat analogue à celui de T.
Shioda : l'algèbre B^SL_2 est le quotient de l'algèbre de polynômes à
neuf indéterminées R=C[x_1,x_2,x_3,x'_3,x_4,x_5,x'_5,x_6,x_7] (les
indices donnent les degrés des indéterminées) par l'idéal des
4-Pfaffiens d'une matrice alternée 5x5 ; on identifie (numériquement)
la résolution libre minimale du R-module B^SL_2 ; enfin, on obtient
une famille génératrice minimale de l'algèbre B^SL_2.
Pour y parvenir on commence par étendre la formule de T. Springer
(donnant la série de Poincaré de l'algèbre des invariants d'une forme
binaire) à l'algèbre des coordonnées homogènes d'une Grassmannienne.
Le point clé suivant consiste en l'identification d'un système de
paramètres homogènes. C'est possible grâce à une caractérisation, au
moyen du morphisme Wronskien, de la stabilité sur la Grassmannienne.
Il faut ensuite étudier les covariants d'ordre 4 et degré 2, ce qui
donne lieu à quelques énoncés de nature géométrique.
Ces techniques permettent également de décrire les algèbres
d'invariants des pinceaux de cubiques et quartiques. Par ailleurs
l'étude du Wronskien conduit à de nouvelles formules de pléthysme.