Quelques résultats en optimisation de forme et stabilisation
Résumé
This work is devoted to the theoretical and numerical aspects of shape optimization and stabilization. The first part deals with the minimization of eigenvalues for the Laplacian operator with homogeneous Dirichlet boundary condition with respect to the domain. More precisely, we study the minimization of the second eigenvalue among convex domains of given area. First, we describe the geometrical properties of the boundary of an optimal shape. In a second step, we refute a conjecture made by Troesch in 1973 : the stadium convex hull of two identical tangent disks is not optimal for this problem. The chapter 2 and 3 are devoted to the numerical approximation of an optimal shape in eigenvalues problems. In the second part of this thesis, we present some qualitative properties of a set solving an optimal transportation problem. Furthermore, we introduce a new algorithm based on stochastic techniques in order to describe an optimal transport. Finally, we prove a fast stabilization theorem for the wave equation defined on an angular sector. In addition, we give a new result on the monotonicity of the zeros of Bessel's functions.
Cette thèse porte sur des aspects théoriques et numériques de l'optimisation de forme ainsi que sur la stabilisation de fonctions solutions d'équations aux dérivées partielles. Dans la première partie, on s'intéresse à la minimisation des valeurs propres du laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet. On étudie plus particulièrement la minimisation de la seconde valeur propre du laplacien sous contraintes de volume et de convexité. Après avoir démontré certaines propriétés qualitatives d'un ouvert optimal (régularité minimale et maximale, description géométrique du bord), nous répondons à une question posée par Troesh en 1973 : le stade (enveloppe convexe de deux disques tangents de memes rayons) n'est pas un ouvert optimal pour ce problème d'optimisation. Dans un deuxième chapitre, nous présentons différents résultats numériques ayant trait à la minimisation d'une valeur propre de rang donné. Dans un second temps, nous exposons certaines propriétés qualitatives d'un ensemble solution d'un problème de transport optimal. Là encore, ce travail est complété par des illustrations numériques obtenues à l'aide d'un algorithme de type stochastique. Le travail de la dernière partie est consacré à la stabilisation rapide de l'équation des ondes par des méthodes d'analyse non harmonique. Nous y présentons aussi un nouveau résultat de monotonie concernant des suites de zéros des dérivées de fonctions de Bessel.