Automates Cellulaires Probabilistes : mesures stationnaires, mesures de Gibbs associées et ergodicité
Résumé
Used in many scientific areas, the discrete time random dynamics called Probabilistic Cellular Automata (P.C.A.) are Markov stochastic processes with values in an infinite space S^G where S is a finite set and G an infinite graph. Here we assume G=Z^d. The main feature of these dynamics is the parallel, or synchronous, evolution of all the coordinates or interacting elementary components. We are first interested in the existence and uniqueness of stationary measures for non degenerated PCA dynamics, i.e. whose local behaviour is never deterministic. Based on results of Dai Pra, Kozlov, Künsch, Lebowitz, Vasilyev et al., we give for the class of reversible PCA dynamics precise relations between the sets of stationary measures, reversible measures and some Gibbs measures. For a typical parametrized family of reversible PCA dynamics, we prove the existence of a phase transition phenomenon and establish the behaviour of the different Gibbs measures under the dynamics' action. In particular, we exhibit non-stationary Gibbs measures. Secondly, we study the convergence to equilibrium for PCA dynamics which are attractive (so called ergodicity). One of our tools is a special coupling of these dynamics, preserving the stochastic order. When there is no phase transition, inspired by the ideas of Martinelli and Olivieri on Glauber dynamics, we prove the ergodicity of PCA dynamics, and more precisely, the convergence exponentially fast to the unique equilibrium state. This result truly improves previous ones existing in the litterature. Finally, we present some numerical simulations of reversible PCA dynamics, and, in particular, a parallel algorithm which converges to extremal Gibbs measures associated to the Ising model.
Utilisés dans de nombreux domaines scientifiques, les Automates Cellulaires Probabilistes, usuellement abrégés en PCA, de l'anglais "Probabilistic Cellular Automata", constituent, au sein des dynamiques aléatoires à temps discret, une classe de systèmes infinis de particules, c'est à dire de processus stochastiques markoviens à valeurs dans un espace infini S^G où S désigne un ensemble fini et G est un graphe infini. On considère ici toujours le cas où G=Z^d. La particularité de ces dynamiques est l'évolution en parallèle, ou synchrone, de chacune des coordonnées ou composants élémentaires en interaction. Nous nous intéressons dans un premier temps à l'existence et à l'unicité des mesures stationnaires pour les dynamiques PCA non dégénérées i.e. dont le comportement local n'est jamais déterministe, ainsi qu'à la caractérisation de ces états d'équilibre en tant que mesures gibbsiennes. Nous fondant sur les résultats de Dai Pra, Kozlov, Künsch, Lebowitz, Vasilyev et al., nous précisons, pour la classe des dynamiques PCA réversibles, les relations existant entre les mesures stationnaires, les mesures réversibles et les mesures de Gibbs associées à un potentiel dont le lien avec la dynamique est explicité. Pour une famille paramétrée de dynamiques PCA réversibles, nous démontrons l'existence d'un phénomène de transition de phase et explicitons dans ce cas le comportement de différentes mesures de Gibbs sous l'action de ces dynamiques. En particulier, nous exhibons des mesures de Gibbs non-stationnaires. Dans un second temps, nous étudions l'ergodicité, i.e. la convergence vers l'équilibre des dynamiques PCA qui sont de plus attractives. Nous construisons à cet effet un couplage de ces dynamiques préservant l'ordre stochastique. En nous référant aux travaux de Martinelli et Olivieri pour les dynamiques de Glauber, nous établissons qu'en l'absence de transition de phase, dès que l'unique mesure de Gibbs vérifie une condition de faible mélange, il y a ergodicité et convergence à vitesse exponentielle vers cet unique état d'équilibre, améliorant en cela grandement les critères d'ergodicité pour les PCA existant dans la littérature. Enfin, nous illustrons ces résultats par la réalisation de simulations numériques de certaines des dynamiques réversibles précédemment étudiées, et présentons un algorithme parallèle convergeant vers les mesures de Gibbs extrémales du modèle d'Ising.