Sur quelques aspects des champs de revêtements de courbes algébriques
Résumé
The aim of this thesis is to study algebraic stacks of covers of algebraic curves, with special attention paid to positive characteristic. In the beginning we establish some results concerning group scheme actions on stacks: existence and algebraicity of stacks of fixed points and quotients; link with the classifying stack of the group. From now on, consider finite groups $G,G'$ of orders $n,n'$. Using Hurwitz theory of tame covers of curves, we first provide a smooth compactification of the stack ${\cal M}_g(G')$ of genus $g$ curves with level structure $G'$. This is also a desingularization of the proper stack given by Deligne-Mumford by normalization of the stack of stable curves of genus $g$ with respect to ${\cal M}_g(G')$. Then, letting certain groups act on the stack constructed above, we give a compactification for the stack of curves of genus $g$ with $G$ action, the base including this time all characteristics that divide $n$. This compactification is smooth a priori only over the prime-to-$n$ characteristics. At last, we focus on the local aspect of wild ramification. Assume that $G$ acts on a scheme $X$ over a discrete valuation ring of unequal characteristics (with the residue characteristic dividing $n$), and that this action is faithful on the generic fibre. We wish to find a model for $G$ which acts faithfully also on the special fibre, unique with this property. If $X$ is proper this ie not too hard. For $X$ affine, we provide a method, based on Néron blow-ups, that leads at least conjecturally to an effective approach to this model. In the case of the cyclic group of order $p$, this method yields the precise structure of covers of a germ of smooth curve. In the end, we conclude with an example illustrating the questions treated in the thesis.
L'objet de cette thèse est l'étude des champs algébriques de revêtements galoisiens de courbes algébriques, avec un intérêt spécial pour la caractéristique positive. On établit tout d'abord des résultats concernant les actions de schémas en groupes sur les champs: existence et algébricité des champs de points fixes et champs quotients; lien avec le champ classifiant du groupe. Dans toute la suite on considère des groupes finis~$G,G'$ d'ordres~$n,n'$. Utilisant la théorie de Hurwitz des revêtements modérés de courbes, on exhibe tout d'abord un champ qui est une compactification lisse du champ~${\cal M}_g(G')$ des courbes de genre~$g$ avec structure de niveau~$G'$. C'est aussi une désingularisation, modulaire qui plus est, du champ propre donné par Deligne et Mumford en normalisant le champ des courbes stables de genre~$g$ dans~${\cal M}_g(G')$. Ensuite, grâce à l'action de certains groupes sur le champ produit ci-dessus, on propose une compactification du champ des courbes de genre~$g$ avec action de~$G$, la base comprenant cette fois-ci les caractéristiques qui divisent~$n$. Cette compactification est lisse a priori seulement au-dessus des caractéristiques premières à~$n$. Puis, on se penche sur l'aspect local de la ramification sauvage. Supposons que~$G$ agit sur un schéma~$X$ au-dessus d'un anneau de valuation discrète d'inégales caractéristiques (la caractéristique résiduelle divisant~$n$) et que l'action est fidèle sur la fibre générique. On souhaite trouver un modèle pour~$G$ qui agisse fidèlement y compris sur la fibre spéciale, avec une propriété d'unicité. Si~$X$ est propre cela est assez facile. Lorsque~$X$ est affine nous donnons une méthode, utilisant les éclatements de Néron, qui mène conjecturalement à une construction effective de ce modèle. Dans le cas du groupe cyclique d'ordre~$p$, cette méthode fournit la structure précise des revêtements de courbes lisses. Enfin nous concluons par un exemple qui illustre les questions traitées dans la thèse.