L'uniformisation locale des surfaces d'Artin-Schreier en caracteristique positive
Résumé
This thesis deals with uniformization, in characteristic p>0, of a rational valuation, in special cases where this valuation is centered on a singularity locally defined by the following equations :
- either z^p+f(x,y)=0, with f not a p-th power, and ordf >p,
- or z^p+e(x,y)z+f(x,y)=0, with ord (ez+f)>p (Artin-Schreier's case).
Historically, it was in such cases that all difficulty of resolving surfaces in positive characteristic was concentrated.
The novelty bringed in this work consists first in giving a bound to the
minimum number of closed point's blowing-ups needed to uniformize, and second
in anticipating (from the first ring) the Newton polygon's evolution and the
parameter's choice for the successive blowing-ups along the valuation.
In a first part, we come back on the Giraud's normal form of f in O_X(X)$
where X is a two dimensional regular scheme of characteristic p. The starting
point is an polynomial expansion of f with a generating sequence for the
valuation. We can then study and anticipate the behavior of this expansion and the associated Newton polygon modulo a p-th power. We then give a bound on the maximum number of blowing-ups needed for this polygon to become minimal, with only one vertex, and of maximal height one. This case correspond to the normal form of f.
In a second part, using this results for the two above-mentionned cases, we
give an algorithm witch anticipate, in the first ring, the translations on z
needed to keep a minimal Newton polygon during the blowing-ups seque ce (along
the valuation), and we quantify the maximal size of such a sequence with last ring corresponding to a quasi-ordinary singularity.
- either z^p+f(x,y)=0, with f not a p-th power, and ordf >p,
- or z^p+e(x,y)z+f(x,y)=0, with ord (ez+f)>p (Artin-Schreier's case).
Historically, it was in such cases that all difficulty of resolving surfaces in positive characteristic was concentrated.
The novelty bringed in this work consists first in giving a bound to the
minimum number of closed point's blowing-ups needed to uniformize, and second
in anticipating (from the first ring) the Newton polygon's evolution and the
parameter's choice for the successive blowing-ups along the valuation.
In a first part, we come back on the Giraud's normal form of f in O_X(X)$
where X is a two dimensional regular scheme of characteristic p. The starting
point is an polynomial expansion of f with a generating sequence for the
valuation. We can then study and anticipate the behavior of this expansion and the associated Newton polygon modulo a p-th power. We then give a bound on the maximum number of blowing-ups needed for this polygon to become minimal, with only one vertex, and of maximal height one. This case correspond to the normal form of f.
In a second part, using this results for the two above-mentionned cases, we
give an algorithm witch anticipate, in the first ring, the translations on z
needed to keep a minimal Newton polygon during the blowing-ups seque ce (along
the valuation), and we quantify the maximal size of such a sequence with last ring corresponding to a quasi-ordinary singularity.
Cette thèse traite de l'uniformisation, en caractéristique p>0, d'une valuation rationnelle, dans les cas particuliers où cette valuation est centrée en une singularité définie localement par des hypersurfaces d'équations :
- soit z^p+f(x,y)=0, avec f non puissance p-ième et ord f>p,
- soit z^p+e(x,y)z+f(x,y)=0, avec ord(ez+f)>p (cas d'Artin-Schreier).
Historiquement c'est dans ces cas particuliers que s'est trouvé concentrée la difficulté de résoudre les surfaces en caractéristique positive.
Les nouveautés ici consistent en une majoration du nombre minimum
d'éclatements de points fermés nécessaires pour uniformiser, et en une
description ``d'en bas'' de l'évolution du polygone de Newton ainsi que des
paramètres choisis pour les éclatés successifs le long de la valuation.
Dans la première partie de la thèse, on revient sur l'obtention de la forme
normale de Giraud pour f dans l'anneau O_X(X), où X schéma régulier de
dimension deux et de caractéristique p. Le point de départ est une
décomposition polynomiale de f en les curvettes associées à la valuation. On
prévoit ensuite via une puissance p-ième d'en bas, le comportement du
polygone de Newton de f moins cette puissance p-ième, et on majore le nombre
minimum d'équerres du graphe dual de la valuation nécessaires à ce qu'il devienne droit de hauteur au plus 1, et minimal, cas correspondant à la forme normale.
Dans la deuxième partie de la thèse on utilise cette étude pour les cas particuliers ci-dessus mentionnés, on donne un algorithme permettant de prévoir les translations à faire à la sortie des équerres pour avoir un polygone de Newton minimal. On quantifie combien d'équerres sont suffisantes pour obtenir une singularité quasi-ordinaire.
- soit z^p+f(x,y)=0, avec f non puissance p-ième et ord f>p,
- soit z^p+e(x,y)z+f(x,y)=0, avec ord(ez+f)>p (cas d'Artin-Schreier).
Historiquement c'est dans ces cas particuliers que s'est trouvé concentrée la difficulté de résoudre les surfaces en caractéristique positive.
Les nouveautés ici consistent en une majoration du nombre minimum
d'éclatements de points fermés nécessaires pour uniformiser, et en une
description ``d'en bas'' de l'évolution du polygone de Newton ainsi que des
paramètres choisis pour les éclatés successifs le long de la valuation.
Dans la première partie de la thèse, on revient sur l'obtention de la forme
normale de Giraud pour f dans l'anneau O_X(X), où X schéma régulier de
dimension deux et de caractéristique p. Le point de départ est une
décomposition polynomiale de f en les curvettes associées à la valuation. On
prévoit ensuite via une puissance p-ième d'en bas, le comportement du
polygone de Newton de f moins cette puissance p-ième, et on majore le nombre
minimum d'équerres du graphe dual de la valuation nécessaires à ce qu'il devienne droit de hauteur au plus 1, et minimal, cas correspondant à la forme normale.
Dans la deuxième partie de la thèse on utilise cette étude pour les cas particuliers ci-dessus mentionnés, on donne un algorithme permettant de prévoir les translations à faire à la sortie des équerres pour avoir un polygone de Newton minimal. On quantifie combien d'équerres sont suffisantes pour obtenir une singularité quasi-ordinaire.
Loading...