Problèmes elliptiques à données peu régulières, applications
Résumé
This document contains works about two main axes of research.
The first one concerns boundary stabilization of some distributed systems in presence of singularities. We are mainly interested in waves equation and elastodynamic system. These problems have been addressed by many authors who have obtained stabilization results by means of multiplier method under restrictive geometric assumptions. In order to extend these results, we have to prove some ``hidden regularity'' properties concerning strong solutions.
To this end, singularities of some mixed elliptic problems must be analyzed. The knowledge of these singularities allows to generalize a Rellich identity which is crucial to get energy estimates involving stabilization results.
The second axis is devoted to the study of Hele-Shaw flows with a punctual source. Stokes-Leibenson formulation gives an elliptic equation where right hand side is the Dirac distribution. Furthermore this problem is non linear since the domain itself has an unknown behavior. The problem is reformulated by using Helmholtz-Kirchhoff method and this gives a local result of existence and uniqueness of a classical solution. Then a numerical model, so called ``quasi-contour model'', is built in order to get some qualitative properties of these flows.
The first one concerns boundary stabilization of some distributed systems in presence of singularities. We are mainly interested in waves equation and elastodynamic system. These problems have been addressed by many authors who have obtained stabilization results by means of multiplier method under restrictive geometric assumptions. In order to extend these results, we have to prove some ``hidden regularity'' properties concerning strong solutions.
To this end, singularities of some mixed elliptic problems must be analyzed. The knowledge of these singularities allows to generalize a Rellich identity which is crucial to get energy estimates involving stabilization results.
The second axis is devoted to the study of Hele-Shaw flows with a punctual source. Stokes-Leibenson formulation gives an elliptic equation where right hand side is the Dirac distribution. Furthermore this problem is non linear since the domain itself has an unknown behavior. The problem is reformulated by using Helmholtz-Kirchhoff method and this gives a local result of existence and uniqueness of a classical solution. Then a numerical model, so called ``quasi-contour model'', is built in order to get some qualitative properties of these flows.
Ce document regroupe des travaux organisés autour de deux thèmes
de recherche.
Le premier concerne la stabilisation-frontière de quelques systèmes
distribués, en présence de singularités. On s'intéresse principalement à l'équation des ondes et au système élastodynamique pour lesquels de nombreux auteurs ont obtenu des résultats de stabilisation en utilisant la méthode des multiplicateurs sous des conditions géométriques restrictives. Pour étendre ces résultats, on est amené à démontrer certaines propriétés de ``régularité cachée'' des solutions fortes, ce qui nécessite l'analyse des singularités d'un problème elliptique avec conditions aux limites mêlées. La connaissance de ces singularités permet de généraliser une relation de Rellich, cruciale dans l'obtentionédes estimations d'énergie conduisant aux résultats de stabilisation.
Le second thème a pour objet l'étude des écoulements de Hele-Shaw à
source ponctuelle. Le modèle de Stokes-Leibenson fait apparaître
une équation elliptique dont le second membre est la distribution de Dirac au point-source. Ce problème est de plus intrinsèquement non linéaire du fait que le domaine lui-même évolue d'une manière inconnue. On utilise la méthode de Helmholtz-Kirchhoff pour reformuler le problème. Ceci permet de démontrer un résultat d'existence et d'unicité locales d'une solution classique. On construit ensuite un modèle numérique, dit ``modèle quasi-contour'', destiné à étudier certaines propriétés qualitatives de ces écoulements.
de recherche.
Le premier concerne la stabilisation-frontière de quelques systèmes
distribués, en présence de singularités. On s'intéresse principalement à l'équation des ondes et au système élastodynamique pour lesquels de nombreux auteurs ont obtenu des résultats de stabilisation en utilisant la méthode des multiplicateurs sous des conditions géométriques restrictives. Pour étendre ces résultats, on est amené à démontrer certaines propriétés de ``régularité cachée'' des solutions fortes, ce qui nécessite l'analyse des singularités d'un problème elliptique avec conditions aux limites mêlées. La connaissance de ces singularités permet de généraliser une relation de Rellich, cruciale dans l'obtentionédes estimations d'énergie conduisant aux résultats de stabilisation.
Le second thème a pour objet l'étude des écoulements de Hele-Shaw à
source ponctuelle. Le modèle de Stokes-Leibenson fait apparaître
une équation elliptique dont le second membre est la distribution de Dirac au point-source. Ce problème est de plus intrinsèquement non linéaire du fait que le domaine lui-même évolue d'une manière inconnue. On utilise la méthode de Helmholtz-Kirchhoff pour reformuler le problème. Ceci permet de démontrer un résultat d'existence et d'unicité locales d'une solution classique. On construit ensuite un modèle numérique, dit ``modèle quasi-contour'', destiné à étudier certaines propriétés qualitatives de ces écoulements.
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