Problèmes de réaction-diffusion avec convection : Une étude mathématique et numérique.
Résumé
We study mathematically and numerically reaction-diffusion problems with convection. In the first part we prove that under some conditions the reaction-diffusion-convection operators are proper and have the Fredholm property, and we construct a topological degree for these operators. We use the degree to study bifurcations and prove the existence of traveling waves of reaction-diffusion with natural convection. We also study convective instabilities for these solutions. In the second part we investigate the influence of interfacial tension on the stability of fronts. In the case of immiscible liquids we prove that the interaction of the chemical reaction and interfacial tension may lead to a new type of instability. In the case of miscible liquids we model the transient surface tension by an additional stress in the Navier-Stokes equations. We show that the corresponding mathematical problem has a unique solution, and we observe numerically that the concentration gradients may induce convective flows. We simulate the evolution of a miscible drop under the influence of these flows: it behaves like an immiscible drop under the action of surface tension, with a tendency to get circular, or to break into droplets. We also show numerically that the tension may amplify small perturbations of plane fronts.
Nous étudions mathématiquement et numériquement des problèmes de réaction-diffusion avec convection. Dans la première partie, nous montrons sous certaines conditions que les opérateurs considérés ont la propriété de Fredholm, sont propres, et nous construisons un degré topologique pour ces opérateurs. Nous utilisons le degré pour étudier les bifurcations pour un problème d'ondes progressives de réaction-diffusion-convection, et nous montrons l'existence de fronts de réaction modifiés par la convection naturelle. Nous nous intéressons également aux instabilités convectives pour ces solutions. Nous étudions dans la deuxième partie l'influence de la tension de surface sur la stabilité des fronts. Dans le cas de liquides non miscibles, nous montrons que l'interaction de la tension de surface et de la réaction chimique peut conduire à une instabilité nouvelle. Dans le cas de liquides miscibles, nous modélisons la tension transitoire par une contrainte supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Nous montrons que le problème mathématique correspondant a une solution unique, et nous observons numériquement que les gradients de concentration peuvent engendrer des courants convectifs. Nous simulons l'évolution d'une goutte miscible sous l'influence de ces courants~: elle est comparable à celle d'une goutte non miscible sous l'action de la tension de surface, avec une tendance à s'arrondir ou à se scinder en gouttelettes. Nous montrons numé\-ri\-quement que la tension transitoire peut amplifier de petites déformations de fronts plans.
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