Structure d'algèbre de Lie de la cohomologie de Hochschild en degré un et groupe d'automorphismes extérieurs
Résumé
In this thesis, we study the Lie algebra structure of the first Hochschild cohomology group H1(A,A) for a k-algebra A. This allows us also to examine the identity component of the algebraic group of outer automorphisms of A in characteristic zero.
The first part is devoted to the study of the Lie algebra H1(A,A) of a monomial algebra A of finite dimension. This is done in terms of the combinatorics of the quiver of A, without any restriction on the characteristic of the field k. We show that the
semisimple Lie quotient of H1(A,A) by its radical is a product of Lie algebras pgl(n,k). Combinatoric criteria for the solvability, the (semi-)simplicity, the commutativity and the nilpotency are given.
Next, we study the Lie algebra H1(kG,kG) of some group algebras for a field k of characteristic p>0. Thanks to a Morita equivalence given by Gabriel, we examine the case of finite groups admitting a normal cyclic Sylow p-subgroup. The Lie algebra H1(kG,kG) of finite abelian groups is studied using group cohomology. For p different from 2, the Lie algebra H1(kG,kG) is semisimple if and only if the Sylow p-subgroup of G is elementary. In this case, H1(kG,kG) is a product of Jacobson and Witt Lie
algebras.
Finally, we consider the Lie algebra H1(TA,TA) of the trivial extension TA of an algebra A, in particular of a radical square zero algebra. In this case, the semisimple Lie quotient of H1(TA,TA) by its radical is a product of Lie algebras pgl(n,k) and so(2m,k). The Lie algebra H1(TA,TA) is never semisimple. This thesis ends with combinatoric criteria on the solvability and the commutativity of the Lie algebra H1(TA,TA).
The first part is devoted to the study of the Lie algebra H1(A,A) of a monomial algebra A of finite dimension. This is done in terms of the combinatorics of the quiver of A, without any restriction on the characteristic of the field k. We show that the
semisimple Lie quotient of H1(A,A) by its radical is a product of Lie algebras pgl(n,k). Combinatoric criteria for the solvability, the (semi-)simplicity, the commutativity and the nilpotency are given.
Next, we study the Lie algebra H1(kG,kG) of some group algebras for a field k of characteristic p>0. Thanks to a Morita equivalence given by Gabriel, we examine the case of finite groups admitting a normal cyclic Sylow p-subgroup. The Lie algebra H1(kG,kG) of finite abelian groups is studied using group cohomology. For p different from 2, the Lie algebra H1(kG,kG) is semisimple if and only if the Sylow p-subgroup of G is elementary. In this case, H1(kG,kG) is a product of Jacobson and Witt Lie
algebras.
Finally, we consider the Lie algebra H1(TA,TA) of the trivial extension TA of an algebra A, in particular of a radical square zero algebra. In this case, the semisimple Lie quotient of H1(TA,TA) by its radical is a product of Lie algebras pgl(n,k) and so(2m,k). The Lie algebra H1(TA,TA) is never semisimple. This thesis ends with combinatoric criteria on the solvability and the commutativity of the Lie algebra H1(TA,TA).
Dans cette thèse, nous étudions la structure d'algèbre de Lie du premier groupe H1(A,A) de la cohomologie de Hochschild pour une k-algèbre A. Cela nous permet
aussi d'examiner la composante de l'identité du groupe algébrique des automorphismes extérieurs de A en caractéristique zéro.
La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de Lie H1(A,A) d'une algèbre monomiale A de dimension finie. Ceci se fait en termes de la combinatoire du carquois de A, sans restriction sur la caractéristique du corps k. Nous montrons que le quotient de Lie semi-simple de H1(A,A) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k). Des critères combinatoires pour la résolubilité, la (semi-)simplicité, la commutativité et la nilpotence sont donnés.
Dans la deuxième partie, nous étudions l'algèbre de Lie H1(kG,kG) de quelques algèbres de groupe pour un corps k de caractéristique p>0. Grace à une Morita équivalence de Gabriel, nous traitons le cas des groupes finis admettant un seul p-sous-groupe de Sylow cyclique. L'algèbre de Lie H1(kG,kG) des groupes finis abéliens est étudiée en utilisant la cohomologie de groupes. Pour p différent de 2, l'algèbre de Lie H1(kG,kG) est semi-simple si et seulement si le p-sous-groupe de Sylow de G est élémentaire. Dans ce cas, H1(kG,kG) est un produit d'algèbres de Lie de Jacobson et Witt.
Enfin, nous examinons l'algèbre de Lie H1(TA,TA) de l'extension triviale TA d'une algèbre A, en particulier d'une algèbre dont le carré du radical est nul. Dans ce dernier cas, le quotient de Lie semi-simple de H1(TA,TA) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k) et so(2m,k). L'algèbre de Lie H1(TA,TA) n'est jamais semi-simple. Ce travail se termine par des critères combinatoires sur la
résolubilité et sur la commutativité de l'algèbre de Lie H1(TA,TA).
aussi d'examiner la composante de l'identité du groupe algébrique des automorphismes extérieurs de A en caractéristique zéro.
La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de Lie H1(A,A) d'une algèbre monomiale A de dimension finie. Ceci se fait en termes de la combinatoire du carquois de A, sans restriction sur la caractéristique du corps k. Nous montrons que le quotient de Lie semi-simple de H1(A,A) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k). Des critères combinatoires pour la résolubilité, la (semi-)simplicité, la commutativité et la nilpotence sont donnés.
Dans la deuxième partie, nous étudions l'algèbre de Lie H1(kG,kG) de quelques algèbres de groupe pour un corps k de caractéristique p>0. Grace à une Morita équivalence de Gabriel, nous traitons le cas des groupes finis admettant un seul p-sous-groupe de Sylow cyclique. L'algèbre de Lie H1(kG,kG) des groupes finis abéliens est étudiée en utilisant la cohomologie de groupes. Pour p différent de 2, l'algèbre de Lie H1(kG,kG) est semi-simple si et seulement si le p-sous-groupe de Sylow de G est élémentaire. Dans ce cas, H1(kG,kG) est un produit d'algèbres de Lie de Jacobson et Witt.
Enfin, nous examinons l'algèbre de Lie H1(TA,TA) de l'extension triviale TA d'une algèbre A, en particulier d'une algèbre dont le carré du radical est nul. Dans ce dernier cas, le quotient de Lie semi-simple de H1(TA,TA) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k) et so(2m,k). L'algèbre de Lie H1(TA,TA) n'est jamais semi-simple. Ce travail se termine par des critères combinatoires sur la
résolubilité et sur la commutativité de l'algèbre de Lie H1(TA,TA).