KK-théorie équivariante et opérateur de Julg-Valette pour les groupes quantiques
Résumé
This thesis deals with the study of the equivariant KK-theory with respect to locally compact quantum groups. We generalize well-known notions and results of the classical case: stabilisation theorem, descent morphisms, Green-Julg theorem, K-amenability. Then, we try to introduce useful geometric tools in this setting. In particular, we associate to any discrete quantum group, and to any amalgamated free product of discrete quantum groups, objects that can be interpreted as quantum trees. We study in detail the Julg-Valette operators that are associated to the Wang-Banica free quantum groups: they present many new features characteristic of the quantum frame, the most important one being the non-involutivity of the direction reversing operator on the space of oriented edges. It makes necessary the introduction of a new representation of the discrete quantum group in order to obtain a KK-theory element.
Cette thèse s'inscrit dans l'étude de la KK-théorie équivariante par rapport à un groupe quantique localement compact. On généralise notamment certaines notions et certains résultats connus dans le cas des groupes : théorème de stabilisation, morphisme de descente, théorème de Green-Julg, K-moyennabilité. On cherche ensuite à introduire des outils géométriques utiles dans ce contexte, et on associe notamment à un groupe quantique discret et à un produit libre amalgamé de groupes quantiques discrets des objets qui peuvent s'interpréter comme des arbres quantiques. On étudie en particulier les opérateurs de Julg-Valette associés aux groupes quantiques libres de Wang-Banica : ce cas présente de nombreuses nouveautés par rapport au cadre classique, la principale étant la non-involutivité de l'opérateur de retournement des arêtes qui rend nécessaire la construction d'une représentation additionnelle du groupe quantique discret pour obtenir un élément de KK-théorie.
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