MODELISATION MATHEMATIQUE ET SIMULATION NUMERIQUE DU DRAPE D'UN TEXTILE
Résumé
The purpose of this work is to study the
deformation of a fabric over a two- or three-dimensional obstacle and
submitted to its own weight.
In the first part, we establish the general equilibrium equations
and we introduce two mathematical models which describe the fabric drape.
The first model is a nonlinear membrane one, the mathematical analysis of
which leads to the computation of the quasi-convex envelope of the
associated energy density. The second model is a nonlinear membrane-flexion
model and is obtained when adding a regularising term to a non-coercive
energy functional. Using the techniques of the Calculus of Variations, we
prove the existence of at least one solution for this minimisation model.
Finally, we prove an existence result for the three-dimensional fabric drape
problem.
The second part is devoted to the numerical analysis of the
different models which have been built in the first part. We use a descent
iterative method coupled with a multigrid one in order to accelerate the
convergence of the algorithm. We prove that the discrete problem admits a
solution and prove the theoretical convergence of a subsequence of discrete
solutions to a solution of the continuous problem.
deformation of a fabric over a two- or three-dimensional obstacle and
submitted to its own weight.
In the first part, we establish the general equilibrium equations
and we introduce two mathematical models which describe the fabric drape.
The first model is a nonlinear membrane one, the mathematical analysis of
which leads to the computation of the quasi-convex envelope of the
associated energy density. The second model is a nonlinear membrane-flexion
model and is obtained when adding a regularising term to a non-coercive
energy functional. Using the techniques of the Calculus of Variations, we
prove the existence of at least one solution for this minimisation model.
Finally, we prove an existence result for the three-dimensional fabric drape
problem.
The second part is devoted to the numerical analysis of the
different models which have been built in the first part. We use a descent
iterative method coupled with a multigrid one in order to accelerate the
convergence of the algorithm. We prove that the discrete problem admits a
solution and prove the theoretical convergence of a subsequence of discrete
solutions to a solution of the continuous problem.
L'objectif de ce travail est d'étudier la dé
formation d'un tissu posé sur un support bi- ou tri-dimensionnel et soumis à
son propre poids.
Dans la première partie, nous établissons les équations
d'équilibre de ce problème dans le cas général et
introduisons deux modèles mathématiques. Le premier est un
modèle membranaire non-linéaire, dont l'analyse mathématique
conduit au calcul de l'enveloppe quasi-convexe de la densité
d'énergie associée. Le deuxième modèle (modèle
membrane-flexion non-linéaire) est obtenu en ajoutant un terme
régularisant à une fonctionnelle énergie non coercive. Nous
prouvons l'existence d'au moins une solution de ce problème de
minimisation, en utilisant les techniques du Calcul des Variations. Enfin,
nous établissons l'existence de solutions pour le problème de
drapé tri-dimensionnel.
La seconde partie est consacrée à la résolution numérique des diffé%
rents modèles élaborés dans la première partie, au moyen d'une méthode ité%
rative de descente couplée avec une méthode multigrille, afin d'accélérer la
convergence de l'algorithme. Nous montrons que le problème discret admet au
moins une solution. Enfin, nous prouvons la convergence théorique d'une
sous-suite de solutions discrètes vers une solution du problème continu,
moyennant une hypothèse de densité.
formation d'un tissu posé sur un support bi- ou tri-dimensionnel et soumis à
son propre poids.
Dans la première partie, nous établissons les équations
d'équilibre de ce problème dans le cas général et
introduisons deux modèles mathématiques. Le premier est un
modèle membranaire non-linéaire, dont l'analyse mathématique
conduit au calcul de l'enveloppe quasi-convexe de la densité
d'énergie associée. Le deuxième modèle (modèle
membrane-flexion non-linéaire) est obtenu en ajoutant un terme
régularisant à une fonctionnelle énergie non coercive. Nous
prouvons l'existence d'au moins une solution de ce problème de
minimisation, en utilisant les techniques du Calcul des Variations. Enfin,
nous établissons l'existence de solutions pour le problème de
drapé tri-dimensionnel.
La seconde partie est consacrée à la résolution numérique des diffé%
rents modèles élaborés dans la première partie, au moyen d'une méthode ité%
rative de descente couplée avec une méthode multigrille, afin d'accélérer la
convergence de l'algorithme. Nous montrons que le problème discret admet au
moins une solution. Enfin, nous prouvons la convergence théorique d'une
sous-suite de solutions discrètes vers une solution du problème continu,
moyennant une hypothèse de densité.
Mots clés
Fabric drape
nonlinear elasticity
large<br />deformations
Calculus of Variations
relaxation
quasi-convex envelope
<br />descent method
multigrid method
finite elements
drapé textile
élasticité non-linéaire
grandes déformations
Calcul des Variations
enveloppe quasi-convexe
méthode de descente
méthode multigrille
éléments finis.
éléments finis