L'équation de Cauchy-Riemann avec conditions de support dans des domaines à bords Levi-dégénérés
Résumé
In the first part, we consider a domain $\Omega$ with Lipschitz boundary, is relatively compact in an $n$-dimensional Kähler manifold, which satisfies some ``log \delta-pseudoconvexity'' conditions. We show that the $\overline\partial$ -equation with exact support in $\Omega$ admits a solution in bidegrees $(p,q)$, $1\leq q\leq n-1$. Moreover, the range of $\overline\partial$ acting on smooth $(p,n-1)$-forms with support in $\overline\partial$ is closed. Applications are given to the solvability of the tangential Cauchy-Riemann equations for smooth forms and currents for all intermediate bidegrees on boundaries of weakly pseudoconvex domains in Stein manifolds and to the solvability of the tangential Cauchy-Riemann equations for currents on Levi-flat $CR$ manifolds of arbitrary codimension. In a second part, we study the $\overline\partial$ -equation with zero Cauchy data along a hypersurface with constant signature. Applications to the solvability of the tangential Cauchy-Riemann equations for smooth forms with compact support and currents on the hypersurface are given. In particular the Hartogs phenomenon holds in weakly 2-convex-concave hypersurfaces with constant signature in Stein manifolds.
Dans une première partie, on considère un domaine $\Omega$ qui est relativement compact dans une variété kählérienne de dimension $n$ et qui vérifie une certaine condition de ``$\log\delta$-pseudoconvexité''. On montre que le problème du $\overline\partial$ avec support exact dans $\Omega$ admet une solutions en bidegrés $(p,q)$, $1\leq q\leq n-1$. En plus, l'image de l'opérateur $\overline\partial$ agissant sur les formes lisses de bidegré $(p,n-1)$ à support das $\overline\Omega$ est fermée. On donne des applications pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour les formes lisses et pour les courants pour tous les bidegés intermédiaires sur le bord d'un domaine faiblement pseudoconvexe dans une variété de Stein et pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour les courants sur les variétés $CR$ Levi-plates de codimension arbitraire. Dans une deuxième partie, on considère le problème du $\overline\partial$ avec trace nulle le long d'une hypersurface à signature constante. On donne des applications pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour des formes lisses à support compact et pour des courants sur l'hypersurface. On prouve aussi que le phénomène de Hartogs se produit dans les hypersurfaces faiblement 2-convexes-concaves à signature constante des variétés de Stein.