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. Le-travail-précurseur-de-stam-hirschman, . Blachman, . Lieb, C. Beckner, and . Dembo, Divers liens ont alorsétéétablisalorsétéalorsétéétablis entre les inégalités intervenant en théorie de l'information et d'autres inégalités fonctionnelles importantes en analyse comme celles de Brunn-Minkowski, de Sobolev logarithmique et de Young, ou encore avec les principes d'incertitude. L'inégalité de Young (théorème 2.5.1), par exemple, permet de donner une preuve unifiée, donnée par Dembo dans [Dem90], de l'inégalité de l'entropie exponentielle de shannon et de l'inégalité de Brunn-Minkowski. On trouvera dans [CT91] et surtout [DCT91] une présentation relativement récente des liens entre ces différentes inégalités. L'inégalité de l'entropie exponentielle (2.13) de Shannon a ´ etéetéétablie pour la premì ere fois (de façon peu rigoureuse) par Shannon lui même en utilisant une méthode variationnelle [Sha48]. La démonstration la plus connue est sans doute celle de Stam [Sta59], basée sur l'inégalité de l'information de Fisher (2.12), et dont l'extension multidimentionnelle est duè a Blachman, Zamir montre comment obtenir l'inégalité de Blachman-Stam (2.12) ` a partir de l'inégalité de Cramér-Rao

L. De-debruijn, H. Essentielle-pour-lier-les-quantités, and J. Peut-s-'´, puisque sa preuve utilise uniquement l'´ equation de la chaleur et le semi-groupe associé En probabilités libres, c'est l'´ equation de Burgers complexe qui permet d'´ echanger la dérivation en temps et la dérivation en espace. Dans ce domainé egalement, l'identité de DeBruijn permet de faire le lien entre l'entropie libre et l'information libre. L'entropie libre est, elle aussi, sous additive. Elle vérifie l'analogue du maximum gaussienàgaussienà variance fixée ; la loi gaussienné etant remplacée par la loi circulaire et la notion d'indépendance par la notion de liberté. Voiculescu a ´ etabli les analogues des inégalités de Sobolev logarithmique (version euclidienne), de Stam et de Cramér-Rao. Pour ces résultats, nous renvoyonsàrenvoyonsà [Voi98]. L'inégalité de Hausdorff-Young a ´ etéetéétablie avec sa constante optimale par Beckner

. Le-caractère-relativement-ancien-de-la-théorie-de-l, information explique en partie le grand nombre de travaux s'y rapportant, mais aussi l'existence de très bons ouvrages comme, et articles de synthèse comme par exemple [DCT91], [Ver98], [CGG89] et [Ber74

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