Multiple stable integrals : properties of laws ; local invariance principle for stationary random variables
Intégrales stables multiples : propriétés des lois ; principe local d'invariance pour des variables aléatoires stationnaires
Résumé
In the first part, we study the laws of some stochastic integrals. After the introducing case of Poisson integrals for which we study the absolute continuity, we construct multiple stable integrals for functions in an Orlicz type space. To this way, we use a generalization of LePage representation. This representation is suitable to apply the stratification method and to study the laws of these integrals. We find in particular a condition ensuring absolute continuity of joint laws of multiple stable integrals with respect to the Lebesgue measure. We prove also from this representation the continuity for total variation norm of the laws of these integrals with respect to integrated functions. In the second part, we are interested in strong convergence of laws of stochastic functionals. We first consider a sequence $(\xi_n)_n$ of {\it i.i.d.} random variables and we associate processes of normalized partial sums. We get then interested in the convergence in variation of the laws of functionals of these processes to those of functionals of Wiener process. This type of convergence strengthens the ones of functional central limit theorem and allows to obtain local invariance principle. We prove such a convergence for a large class of functionals under hypothesis on the common law of the $\xi_n$'s weaker than those of the former results. We give real examples of such functionals for which these convergence holds. We show, to conclude, a similar result starting from some sequence of strongly dependent random variables. We obtain in this way, for example, a result of convergence in variation of the laws of normalized sums of dependent variables.
Nous étudions dans la première partie les lois de certaines intégrales stochastiques. Après le cas introductif des intégrales de Poisson dont nous étudions l'absolue continuité, on construit les intégrales stables multiples pour les fonctions dans un espace de type Orlicz. Pour cela, nous passons par une généralisation de la représentation de LePage. Cette représentation est bien adaptée pour utiliser ensuite la méthode de stratification et étudier la loi de ces intégrales. Nous trouvons en particulier une condition garantissant l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue des lois jointes d'intégrales stables multiples. Nous prouvons également à partir de cette représentation la continuité pour la norme de la variation totale des lois de ces intégrales par rapport aux fonctions intégrées. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la convergence forte des lois des fonctionnelles stochastiques. Nous considérons tout d'abord une suite de variables aléatoires $(\xi_n)_n$ {\it i.i.d.} et on lui associe des processus de sommes partielles normalisées. On s'intéresse alors à la convergence en variation des lois des fonctionnelles de ces processus vers celles des fonctionnelles respectives du processus de Wiener. Ce type de convergence renforce celles du théorème central limite fonctionnel et permet d'obtenir un principe local d'invariance. Nous prouvons une telle convergence pour une large classe de fonctionnelles sous des hypothèses sensiblement affaiblies sur la loi commune des $\xi_n$ par rapport aux résultats précédents. Nous donnons des exemples concrets de fonctionnelles pour lesquelles ces convergences tiennent. Nous montrons pour terminer un résultat du même type en partant de certaines suites de variables aléatoires fortement mélangeantes. On obtient notamment dans un cas particulier un résultat de convergence en variation des lois des sommes partielles normalisées de variables mélangeantes.
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