Analyse et résolution numérique de l'équation de transfert. Application au problème des atmosphères stellaires
Abstract
This thesis is devoted to the numerical resolution of weakly singular Fredholm equations of second kind posed on a Banach space. The methods which are described are applied more specifically in the case of the space of continuous functions on a compact interval, and in the case of Lebesgue integrable functions on a compact interval. The first chapter briefly gives the theoretical framework of this study. Different kinds of convergence of a sequence of operators in a complex Banach space are recalled, and so are their properties. The second chapter is devoted to the description and the to analysis of two finite rank approximate methods. Three refinement schemes are applied to these methods. Relative error bounds are given, for each method and in the case of each functional space. Convergence rate of each corresponding refinement scheme is also deduced. A detailed description of the implementation of these schemes is given. The third chapter deals with the application of these methods to the resolution of the transfer equation. This equation appears in a wider problem (which comes from the transfer theory). A brief description of this problem is given in the case of the particular framework of stellar atmospheres. Numerical experiments are presented. They deal with the validation of the proposed methods and with some astrophysical meaningful cases. When the integral parameter is very large, which is the case in some astrophysical problems, the numerical resolution of this equation is difficult. So, the end of this chapter is devoted to the description of asymptotical domain decomposition methods which can be efficient to overcome this difficulty.
Cette thèse traite de la résolution numérique des équations de Fredholm de seconde espèce faiblement singulières, posées dans un espace de Banach. Les méthodes décrites ici sont appliquées plus particulièrement dans le cas de l'espace des fonctions continues sur un intervalle compact et dans le cas de l'espace des fonctions intégrables, au sens de Lebesgue, sur un intervalle compact. Le premier chapitre fixe brièvement le cadre théorique de cette étude. Différents types de convergence d'une suite d'opérateurs dans un espace de Banach complexe, ainsi que leurs propriétés, y sont notamment rappelés. Le deuxième chapitre est consacré à la description et à l'analyse de deux méthodes d'approximation de rang fini sur lesquelles sont appliqués trois schémas de raffinement itératif. Des majorations des erreurs relatives associées à chaque méthode et dans chacun des espaces fonctionnels considérés y sont déduites, ainsi que les taux de convergence des schémas de raffinement correspondants. Une description détaillée de la mise en \oe uvre de ces derniers est donnée. Le troisième chapitre traite de l'application de ces méthodes à la résolution numérique de l'équation de transfert. Cette équation intervient au sein d'un problème beaucoup plus vaste (émanant de la théorie du transfert) dont une brève description est donnée dans le cadre particulier des atmosphères stellaires. Des expériences numériques, portant sur la validation des méthodes proposées et sur des cas ayant un sens astrophysique, sont présentées. La fin de ce chapitre est consacrée à la description de méthodes asymptotiques de décomposition du domaine permettant de surmonter la difficulté de résoudre cette équation lorsque le paramètre d'intégration varie dans un intervalle très large, ce qui est le cas dans certaines applications astrophysiques.