Approximation et indépendance algébrique de quasi-périodes de variétés abéliennes
Résumé
Periods and ``quasi-periods'' (a.k.a., resp., periods of the first and second kind) of an abelian variety $A$ defined over a subfield of $\CC$ are obtained by integrating, along closed paths on $A(\CC)$, rational differentials on $A$, meromorphic and without residues so that these integrals are well-defined; the first kind is obtained by considering only regular (holomorphic) differentials. Our focus, in the first part of the thesis, is on the ``modular method'' developed by Barré, Diaz, Gramain, Philibert and Nesterenko; we use and somewhat refine it to obtain, in particular, an algebraic approximation measure for the ratio of a period of an elliptic curve defined over $\bar\QQ$ by its associated quasi-period; this improves on a recent result of N.\,Saradha, allowing it to almost include that obtained in 1980 by Reyssat using the ``elliptic method''. Part two revolves around various possible extensions of Chudnovsky's theorems (from the 70's) on algebraic independence of quasi-periods of elliptic curves; these include extensions to abelian varieties of any dimension, as well as results on simultaneous (algebraic) approximation refining assertions about algebraic independence. Somehow, although quite different in nature, these two topics meet up at one point as they can both benefit from a trick suggested by Chudnovsky in the early '80s, namely to exhibit and take advantage of the ``G-function property'' (or ``Eisenstein condition'' in Pólya and Szegö) in arithmetic estimates for the transcendence proof; to this end we use, in the first part, generalizations to several variables of Eisenstein's theorem and Weierstrass's sigma function used by Chudnovsky, and in the second part, links between modular (especially theta) and hypergeometric functions.
Périodes et ``quasi-périodes'' (aussi appelées, resp., périodes de première et deuxième espèce) d'une variété abélienne $A$ définie sur un sous-corps de $\CC$ s'obtiennent par intégration, le long des chemins fermés sur $A(\CC)$, des différentielles rationnelles sur $A$, méromorphes et sans résidus de sorte que ces intégrales soient bien définies; les premières sont obtenues en se restreignant aux différentielles régulières. Au premier chapitre de la thèse, la ``méthode modulaire'' de Barré, Diaz, Gramain, Philibert et Nesterenko est utilisée et quelque peu raffinée pour obtenir notamment une mesure d'approximation algébrique du quotient d'une période d'une courbe elliptique définie sur $\bar\QQ$ par sa quasi-période associée; ceci améliore un résultat récent de N. Saradha, en lui faisant presque contenir celui obtenu en 1980 par Reyssat avec la ``méthode elliptique''. Puis, dans la deuxième partie, nous étudions diverses extensions possibles des théorèmes de Chudnovsky (des années 70) sur l'indépendance algébrique de quasi-périodes de courbes elliptiques; ceci inclut des extensions aux variétés abéliennes de dimension quelconque, ainsi que des résultats d'approximation (algébrique) simultanée précisant les assertions d'indépendance algébrique. Au coeur des deux parties, bien que celles-ci soient par ailleurs très différentes, se trouve une astuce suggérée par Chudnovsky au début des années 80, consistant à faire apparaître et exploiter des propriétés de ``G-fonctions'' (ou ``condition d'Eisenstein'' de Polya et Szegö) dans les estimations arithmétiques de la preuve de transcendance; pour ce faire on utilise, dans la deuxième partie, des généralisations en plusieurs variables du théorème d'Eisenstein et de la fonction sigma de Weierstrass qui avaient servi à Chudnovsky, et dans la première, les liens entre les fonctions modulaires (thêta notamment) et hypergéométriques.
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