Study of some partial differential equations
Étude de Certaines Équations aux Dérivées Partielles
Résumé
The first part of this work concerns non-coercive elliptic equations. We first prove existence and uniqueness of a weak solution in the usual energy space $H^1(\Omega)$ for a class of linear convection-diffusion equations in which the convection term entails the loss of coercivity. We prove Hölder regularity results for the solutions of these equations, and this allows us to solve the same equations with a measure right-hand side. We also extend the existence and uniqueness results to the variational nonlinear noncoercive case. We study then, for a linear noncoercive elliptic equation, the convergence of a finite volume scheme. The second part concerns the uniqueness of solutions to nonlinear elliptic problems with a measure right-hand side. In the third part, we study the hyperbolicity condition for first order systems with constant coefficients. We prove a necessary and sufficient condition for such a system to have solutions for any initial condition of Riemann type (a natural initial condition in the study of numerical schemes for such systems). Thanks to a particular system, we study the difference between our condition and the several hyperbolicity conditions of the literature, and we then prove that the solution of a hyperbolic system is not always stable with respect to the flux. The fourth part gathers some other works. The first work concerns the density in $W^{1,p}(\Omega)$ of regular functions satisfying a Neumann condition. The second is the study of a Mixed Finite Element---Finite Volume scheme for a two-fluids flow through a porous media. The third and last is the study of measures on $]0,T[\times \Omega$ that do not charge sets of null parabolic capacity and the application of this study to a nonlinear parabolic equations with measure right-hand side.
La première partie de ce travail concerne les équations elliptiques non coercitives. Nous prouvons, tout d'abord dans un cadre linéaire, l'existence et l'unicité d'une solution faible dans l'espace d'énergie habituel $H^1(\Omega)$ pour une classe d'équations de convection-diffusion pour lesquelles le terme de convection provoque la perte de coercitivité. Nous prouvons des résultats de régularité höldérienne sur les solutions de ces équations qui permettent ensuite de résoudre ces mêmes équations avec un second membre mesure. Nous étendons aussi les résultats d'existence et d'unicité d'une solution dans des castabilitys variationnels non-linéaires non-coercitifs et nous étudions, pour une équation elliptique linéaire non-coercitive, la convergence d'un schéma volumes finis. La deuxième partie concerne l'unicité des solutions à des problèmes elliptiques non-linéaires avec seconds membres mesure. La troisième partie aborde la question de la condition d'hyperbolicité des systèmes du premier ordre à coefficients constants. Nous prouvons une CNS pour qu'un tel système ait une solution pour toute condition initiale de type Riemann (condition initiale naturelle dans l'étude des discrétisations numériques de ces systèmes). A l'aide d'un système particulier, nous étudions ensuite la différence entre notre CNS et les diverses conditions d'hyperbolicité de la littérature, puis nous prouvons que la solution d'un système hyperbolique n'est pas toujours stable par rapport au flux. La quatrième partie rassemble quelques autres travaux. Le premier concerne la densité dans $W^{1,p}(\Omega)$ des fonctions régulières satisfaisant une condition de Neumann. Le second est l'étude d'une discrétisation EF mixtes---VF pour un écoulement diphasique à travers un milieu poreux. Le troisième et dernier est l'étude des mesures sur $]0,T[\times \Omega$ ne chargeant pas le boréliens de capacité parabolique nulle et l'application de cette étude à la résolution d'une équation parabolique non-linéaire avec second membre mesure.
Mots clés
solutions renormalisées
équations elliptiques non coercitives
termes de convection
solutions par dualité
régularité höldérienne
données mesures
unicité
stabilité
volumes finis
hyperbolicité
condition initiale de type Riemann
densité dans les espaces de Sobolev
capacité parabolique et mesures
solutions renormalisées.
schéma éléments finis mixtes
