Transformations hyperboliques et courbes algebriques en genre 2 et 3
Résumé
The uniformization theorem of Poincaré-Koebe states that any smooth compact Riemann surface of genus $g>1$
is a quotient of the upper half-plane by a Fuchsian
group. On the other hand, a Riemann surface is also a complex
algebraic curve. In genus 2 and 3, these curves can always be
realized as plane curves, i.e as the set of zeros of a homogeneous
polynomial equation $P(x,y,z)=0$ with complex coefficients.
In this thesis we deal with the explicit link between these two
descriptions for surfaces of genus 2 and 3 with non-trivial automorphisms.
In genus 2, we first deal with surfaces having a non-trivial
involution. We describe the correspondence between the actions of two
groups, the first acting on the algebraic structures, and the second on
the hyperbolic structures of these surfaces. The relation between
these two groups enables us to interpret in terms of Dehn twists and
half-twists the links between the covers branched over the
same five distinct points of $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$. In particular, the
action of some Dehn twists can be read on the equations.
A similar study is done for surfaces having an order 3 automorphism.
We then study special algebraic families, in which the surfaces are
defined by a smaller number of parameters than those of the ambient spaces (but
not having necessarily more automorphisms).
We then deal with real families. We show in particular that the
various groups enable us to describe the algebraic and geometric links
between surfaces whose real components have different topological types.
In genus 3, we study the relations between the equations of
the four genus 3 double
covers of a genus 1 curve branched over four given points. We also
describe the relations between their hyperbolic structure when they
are tiled by two right-angled hyperbolic hexagons.
is a quotient of the upper half-plane by a Fuchsian
group. On the other hand, a Riemann surface is also a complex
algebraic curve. In genus 2 and 3, these curves can always be
realized as plane curves, i.e as the set of zeros of a homogeneous
polynomial equation $P(x,y,z)=0$ with complex coefficients.
In this thesis we deal with the explicit link between these two
descriptions for surfaces of genus 2 and 3 with non-trivial automorphisms.
In genus 2, we first deal with surfaces having a non-trivial
involution. We describe the correspondence between the actions of two
groups, the first acting on the algebraic structures, and the second on
the hyperbolic structures of these surfaces. The relation between
these two groups enables us to interpret in terms of Dehn twists and
half-twists the links between the covers branched over the
same five distinct points of $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$. In particular, the
action of some Dehn twists can be read on the equations.
A similar study is done for surfaces having an order 3 automorphism.
We then study special algebraic families, in which the surfaces are
defined by a smaller number of parameters than those of the ambient spaces (but
not having necessarily more automorphisms).
We then deal with real families. We show in particular that the
various groups enable us to describe the algebraic and geometric links
between surfaces whose real components have different topological types.
In genus 3, we study the relations between the equations of
the four genus 3 double
covers of a genus 1 curve branched over four given points. We also
describe the relations between their hyperbolic structure when they
are tiled by two right-angled hyperbolic hexagons.
Le théorème
d'uniformisation de Poincaré-Koebe permet d'affirmer que toute
surface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient du
demi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien.
D'un autre coté, une surface de Riemann est aussi une courbe algébrique
complexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours être
réalisées comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zeros
d'une équation polynomiale homogène à coefficients complexes
$P(x,y,z)=0$.
Dans cette thèse, on s'intéresse au lien explicite entre ces deux
descriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant des
automorphismes non-triviaux.
En genre 2, on s'intéresse d'abords aux surfaces ayant une
involution non-triviale. On décrit la correspondance entre les
actions de deux groupes opérant l'un sur les structures
algébriques, l'autre sur les structures hyperboliques de ces
surfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpréter
en terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre les
différents revêtements ramifiés au dessus de cinq points de
$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur les
équations de certains twists de Dehn. On fait une étude
similaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. On
étudie ensuite des familles spéciales algébriques, définies par
moins de paramètres que l'espace ambiant (sans que cela
corresponde nécessairement à la présence d'automorphismes
supplémentaires). On s'intéresse enfin à des familles réelles.
On montre notamment que les différents groupes permettent
d'exprimer des relations algebrico-géométriques entre surfaces
ayant des types topologiques pour la partie réelle différents.
En genre 3, nous étudions les relations entre les équations des
quatre revêtements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1,
ramifiés au dessus de quatre points donnés et montrons comment on
peut aussi en décrire la structure hyperbolique dans le cas où
ils sont pavés par deux hexagones hyperboliques droits.
d'uniformisation de Poincaré-Koebe permet d'affirmer que toute
surface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient du
demi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien.
D'un autre coté, une surface de Riemann est aussi une courbe algébrique
complexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours être
réalisées comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zeros
d'une équation polynomiale homogène à coefficients complexes
$P(x,y,z)=0$.
Dans cette thèse, on s'intéresse au lien explicite entre ces deux
descriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant des
automorphismes non-triviaux.
En genre 2, on s'intéresse d'abords aux surfaces ayant une
involution non-triviale. On décrit la correspondance entre les
actions de deux groupes opérant l'un sur les structures
algébriques, l'autre sur les structures hyperboliques de ces
surfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpréter
en terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre les
différents revêtements ramifiés au dessus de cinq points de
$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur les
équations de certains twists de Dehn. On fait une étude
similaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. On
étudie ensuite des familles spéciales algébriques, définies par
moins de paramètres que l'espace ambiant (sans que cela
corresponde nécessairement à la présence d'automorphismes
supplémentaires). On s'intéresse enfin à des familles réelles.
On montre notamment que les différents groupes permettent
d'exprimer des relations algebrico-géométriques entre surfaces
ayant des types topologiques pour la partie réelle différents.
En genre 3, nous étudions les relations entre les équations des
quatre revêtements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1,
ramifiés au dessus de quatre points donnés et montrons comment on
peut aussi en décrire la structure hyperbolique dans le cas où
ils sont pavés par deux hexagones hyperboliques droits.