La tour de Teichmüller--Grothendieck
Résumé
We develop the notion of fundamental groupoid of an algebraic (Deligne--Mumford) stack, from its category of etale coverings: this definition is compatible with T. Oda's. This groupoid computes the profinite fundamental group of the associated analytic orbifold and fits in an exact sequence relating geometric and algebaic fundamental groups. In a second chapter, after defining tangent spaces and divisors with normal crossings in the realm of algebraic stacks, we generalize the notion of a tangencial base-point, well-known for schemes in characteristic zero, to stacks in arbitrary characteristic. In a third chapter, we show that the open stata of the moduli space of stable curves with marked points may be described as quotients of products of moduli spaces of smooth curves of lower dimension. We also explain how tangentials base-points on these stacks stem from ribbon graphs. In a fourth chapter, we stress some links between the tower of fundamental groupoids of the moduli spaces of smooth marked curves with respect to the above-mentionned tangencial base points and Lyubashenko's groupoid, by describing paths (twist, braiding) and proving some relations. Two appendices explain the notions of algebraic stacks and2-categories.
Nous commençons par développer la notion de groupe fondamental d'un champ algébrique, à l'aide de sa catégorie de revêtements étales. Cette définition coïncide avec celle, en termes de schémas simpliciaux, de T. Oda. Nous montrons aussi qu'elle permet de retrouver le groupe fondamental profini de l'orbifold analytique associé puis établissons une suite exacte reliant groupe fondamental géométrique et algébrique d'un champ algébrique sur un corps. Dans un deuxième chapitre, après avoir défini les notions d'espace tangent et de diviseur à croisements normaux dans le cadre des champs algébriques, nous généralisons celle de point base tangentiel, bien connue pour les schémas de carcatéristique nulle, aux champs algébriques en caractéristique quelconque. Dans un troisième chapitre, nous montrons que les strates ouvertes de la stratification de l'espace de modules de courbes stables de genre $g$ à $n$ points marqués peuvent se décrire à l'aide des espaces de modules de courbes lisses de dimension inférieure. Nous expliquons aussi comment un graphe en rubans permet de décrire un point-base tangenciel sur ces espaces de modules. Dans un dernier chapitre, nous détaillons certains liens entre la tour des groupoïdes fondamentaux des espaces de modules de courbes lisses relatifs aux points-bases tangenciels précédemment construits et le groupoïde de Lyubashenko, en y construisant certains chemins (torsion, tressage) et en établissant certaines relations entre ces chemins. Dans deux appendices, nous détaillons les notions de champ algébrique et de 2-catégorie.