Theoremes limites pour les fonctionnelles du periodogramme
Résumé
The periodogram is the main tool for time series analysis in the spectral domain. Some of its (asymptotic) properties are well known, for short or long range dependent stationnary processes. Our work focussed on the extension of some of those results to an non-Gaussian framework. We considered linear processes, for which we showed first that non-linear functionals of the periodogram satisfy a central limit principle, using moment methods and the Bartlett decomposition. In most cases, this (yet heavy) technique does not yield any control on the moments of the considered functional. We then achieve moment control through the proof of the validity of the Edgeworth expansion for the Fourier transform of the observation in short and long range contexts.
Le périodogramme est un outil naturel pour l'analyse spectrale d'une série temporelle stationnaire au second ordre. La littérature sur les séries temporelles en donne grand nombre de propriétés - principalement asymptotiques -, que le signal soit a dependence courte ou longue. Beaucoup de ces resultats font l'hypothese supplementaire de gaussianite. La principale contribution de ce travail est l'extension de nombreux resultats connus aux signaux non-gaussiens. Nous traiterons le periodogramme de l'i.i.d. et donnerons une expression asymptotique de ses moments a tout ordre. Nous montrerons que l'on peut traiter le cas plus général du signal linéaire selon deux méthodes. Soit en s'appuyant sur le résultat précédent et la decomposition de Bartlett, soit en traitant directement le periodogramme du lineaire par developpement asymptotique (developement d'Edgeworth) de sa distribution. La premiere methode conduit a des resultats de type "limite centrale" sur une large classe de tableaux triangulaires de fonctionnelles non-lineaire du periodogramme, alors que la seconde permet des resultats de consistance.