Points de Weierstrass et jacobienne de courbes algebriques de genre 3
Résumé
The domain of this thesis is the geometry of algebraic curves and of their Jacobians (in zero characteristic). More precisely, the object of this thesis is the study of the group generated by the Weierstrass points in the Jacobian for some smooth plane curves of genus three. We determine this group for certain families of curves of genus three. We proceed in two steps. We use first the geometry of the curve and of its Jacobian to reduce the number of generators. We will see that it is not possible to reduce this number more. In order to prove this, we use several techniques: in the second part, we carry out an explicit descent using an isogeny; in the third part, we use reduction modulo a prime of good reduction. When we are dealing with families, this kind of geometric restrictions is valid for the whole family. On the other hand, the techniques we use in the second step only yield the result for a particular curve. In each case, we use a specialisation theorem to conclude. Moreover, we compute this group for the only plane quartic, apart for Fermat's quartic, possessing the minimal number of Weierstrass points, that is twelve; also in this case, the geometry of the Jacobian is useful to compute this group. These computations enable us to give an estimation on the rank of this group and on the torsion part for a generic quartic, depending on the number of hyperflexes (that is points where the tangent meets the curve with multiplicity four).
Cette these a pour theme la geometrie des courbes algebriques et de leur jacobienne (en caracteristique zero). Elle a, en particulier, pour objet l'etude du groupe engendre dans la jacobienne par les points de Weierstrass pour certaines courbes planes lisses de genre trois. Nous determinons ce groupe pour certaines familles de courbes de genre trois. Pour ce faire, nous procedons en deux etapes. Nous utilisons tout d'abord la geometrie de la courbe et de sa jacobienne pour restreindre le groupe cherche. Les restrictions obtenues par ces arguments geometriques s'avereront etre optimales. Pour demontrer cela, nous utilisons differentes techniques: dans la deuxieme partie, nous appliquons une descente explicite via une isogenie; dans la troisieme partie, nous utilisons des arguments de reduction modulo un nombre premier. Lorsque nous nous interessons a des familles, ces restrictions ``d'ordre geometrique'' s'obtiennent pour toute la famille. Par contre, les techniques mises en oeuvre lors de la seconde etape ne nous donnent le resultat que pour une courbe particuliere. Dans chaque cas, un argument de specialisation nous permet de conclure. De plus, nous determinons ce groupe pour la seule quartique, autre que le quartique de Fermat, possedant le nombre minimal de points de Weierstrass, a savoir douze; la encore, la geometrie de la jacobienne intervient dans la determination de ce groupe. Ces calculs nous permettent de donner des estimations sur le rang de ce groupe et sur la partie de torsion dans le cas d'une quartique generique, selon le nombre de points d'hyper-inflexion (c'est-a-dire de points de la courbe ou la tangente a multiplicite d'intersection quatre avec la courbe).