Spectres asymptotiques des nilvariétés graduées
Résumé
Take a graded nilmanifold with a Riemannian (resp. Sub-Riemannian) metric. Lift the metric on its universal cover, one gets a distance which in turn yields balls. On these balls one can look at the Laplacian (resp. a Sub-Laplacian). If one focuses on the spectrum for the Dirichlet problem one can describe the asymptotic behaviour of the eigenvalues when the radius of the balls goes to infinity, using the tools of homogenisation. This also allows us to give a lower bound on the asymptotic volume of balls in terms of the volume of the Albanese Torus. In the particular case of Tori we also study the Neumann problem and we characterise the flat metrics looking at the asymptotic of the first eigenvalue for the Dirichlet case. We also investigate the situation in the Heisenberg groups.
Considérons une nilvariété graduée munie d'une métrique riemannienne (resp. sous-riemannienne), on relève la métrique sur le revêtement universel, on obtient ainsi une distance qui à son tour définit des boules. Sur ces boules on peut étudier le laplacien (resp. un sous-laplacien). On se concentre sur son spectre pour le problème de Dirichlet. On décrit, en utilisant les outils de l'homogénéisation, le comportement asymptotique des valeurs propres quand le rayon des boules tend vers l'infini. On obtient également une minoration du volume asymptotique des boules faisant intervenir le tore d'Albanese. Dans le cas particulier des tores, on étudie aussi le spectre de Neumann et on caractérise les tores plats grâce à l'asymptotique de la première valeur propre du laplacien pour le problème de Dirichlet. On explore aussi le cas des groupes de Heisenberg.
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