Adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans les espaces symétriques
Résumé
This thesis deals with singularities of orbits closures of Borel subgroups in symmetric spaces. We consider a reductive group $G$, and the fixed points subgroup $H$ of an involution of $G$. Following Richardson and Springer we parameterize the orbits of a Borel subgroup in the symmetric space $G/H$, and we give a combinatorial description of those orbits closures. We also construct slices to describe singularities of those orbits closures. We study more specifically the symmetric space $PSL_n/PSO_n$. In this case, thanks to the combinatorial description and to the slices, we give some orbits closures normality criteria and a characterization of smoothness in codimension one. Finally, we give many examples of orbits closures of a Borel subgroup in symmetric spaces with different kinds of singularities : non normal orbits closures of codimension one in $G/H$, and orbits closures that are neither normal nor Cohen-Macaulay.
Cette thèse est consacrée à l'étude des singularités d'adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans un espace symétrique. On se donne un groupe réductif $G$ muni d'une involution, et le sous-groupe $H$ de ses points fixes. Suivant Richardson et Springer, on paramètre les orbites d'un sous-groupe de Borel dans l'espace symétrique $G/H$. On donne une description combinatoire de leurs adhérences, et on construit des ``slices'' qui permettent de décrire les singularités de ces dernières. On étudie plus particulièrement l'espace symétrique $PSL_n/PSO_n$. Dans ce dernier, à l'aide de la description combinatoire et des ``slices'', on donne des critères de normalité d'adhérences d'orbites ainsi qu'une caractérisation de la lissité en codimension un. Enfin, on donne de nombreux exemples d'adhérences d'orbites d'un sous-groupe de Borel dans un espace symétrique avec divers types de singularités~: des adhérences d'orbites de codimension un dans $G/H$ non normales, et des adhérences d'orbites qui ne sont pas de Cohen-Macaulay.