Etats propres de systèmes classiquement chaotiques dans l'espace des phases
Résumé
The aim of this work is to study classically chaotic quantum systems. We restrict ourselves to one-dimensional dynamics, and pay a particular attention to eigenstates, using both analytical and numerical methods. Quantum states are represented using phase space probability densities (Husimi densities), so that they can be easily compared to classically invariant measures, in the semiclassical limit. On the other hand, a quantum state can be built directly from the knoowledge of its constellation, i.e. the set of zeros of its Husimi density. We first study an integrable Hamiltonian system with a fixed unstable point. A precise description of Husimi densities of eigenstates near the critical energu is provided by uniform WKB approximations. While densities concentrate exponentially around the separatrix, zeros are stributed along classically defined (anti-Stokes) lines. We then study area-preserving maps on the torus, in particular Arnold's ``cat'' maps and the baker's map, which are both proven to be fully chaotic and for which we know a consistent quantization procedure. Due to arithmetical properties of cat maps, we can build families of very ergodic eigenstates, for which the constellations form crystals on the torus. More generally, we show that eigenstates of these quantum maps have, on average, similar properties to Gaussian random states: their Husimi densities and constellations are grossly equidistributed over the whole torus in the semiclassical limit, and their fluctuations around the ergodic measure are universal. On the other hand, we argue that the specic features of an individual eigenstate (e.g. a scar above a periodic point) can be robustly extracted from the first few Fourier coefficients of its constellation.
Ce travail a pour objet l'étude des systèmes dynamiques quantiques dont la limite classique est chaotique, et en particulier de leurs états liés. Nous nous restreignons à des systèmes unidimensionnels. Les états quantiques sont représentés par des densités de probabilité dans l' espace des phases (densités de Husimi), afin de les comparer, dans la limite semi-classique, aux mesures invariantes classiques. De façon duale, tout état quantique peut être reconstruit à partir de la constellation formée par les zéros de sa densité de Husimi. Nous amorçons l' étude par un système hamiltonien intégrable présentant un point fixe instable. Une approximation WKB uniforme près de l'énergie critique fournit une description semi-classique précise des états propres: tandis que leurs densités de Husimi se concentrent sur la séparatrice, les constellations de zéros s'alignent le long de lignes d'anti-Stokes, également de nature classique. Nous considérons ensuite des transformations canoniques hyperholiques sur un espace des phases compact (le tore), qui sont très chaotiques, et qu'on sait quantifier: ce sont les applications du chat d'Arnold et du boulanger. Le caractère arithmétique des premières permet de construire des familles états très particuliers, appelés états cristallins en raison de la forme de leurs constellations. Plus généralement, on montre que les états propres de ces systèmes sont bien modélisés, en moyenne, par des états aléatoires gaussiens: leurs densités de Husimi, ainsi que leurs constellations, sont semi-classiquement équidistribuées sur le tore, mais présentent néanmoins des fluctuations quantiques universelles. À l'opposé, il semble que les caractéristiques spécifiques à un état propre individuel (par exemple une cicatrice sur un point périodique classique) soient codées de façon robuste par les premiers coefficients de Fourier de sa constellation.