, Comme Cat c (A) est une C-cat” egorie, Cat c (A) m (x 0
, Nous diviserons ce cas en deux sous-cas. Tout d'abord si a et a ? sont adjacents, alors (can c A ) 1 (a, a ? ) et (can c B ) 1 (a, a ? ) sont des ” equivalences faibles par le lemme 5.5.15 et f 1 (a, a ? ) est une ” equivalence faible par hypothèse sur f . Comme on a l'” egalit” e Cat c (f ) 1 (a, a ? )? (can c A ) 1 (a, par " trois pour deux " dans la cat” egorie de modèles ferm” ee C, il vient que Cat c (f ) 1 (a, a ? ) est une ” equivalence faible
, alors f est uné equivalence de catégories de Segal si et seulement si ? 0 (f ) est une bijection d'ensembles et que, pour tout i > 0 et pour tout objet a de A, ? i (f, a)
, On a d” ejà vu que f est essentiellement surjective si et seulement si ? 0 (f ) est une bijection ensembliste. Or ? 0 (f ) n'est autre que ? 0 (f ) Ainsi l'essentielle surjectivit” e est caract” eris” ee en
, f (y)) est vide Sinon il existe un morphisme entre f (x) et f (y) et, comme B est un groupoˆ ?de de Segal , ce morphisme est une ” equivalence entre f (x) et f (y), qui ont donc m? eme image dans ? 0 (B). Or ? 0 (f ) est une bijection par hypothèse
, A 1 (x, y) qui est une ” equivalence entre x et y car A est un groupoˆ ?de de Segal En utilisant la d” emonstration du lemme 4.1.3, ceci entra? ?ne que dans la cat” egorie homotopique des ensembles simpliciaux les remplacements fibrants A f 1 (x, y) et A f 1 (x, x) sont ” equivalents. De m? eme, par l'” equivalence f (g) dans B entre f (x) et f (y), on obtient que B f 1 (f (x), f (y)) et B f 1 (f (x), f (x)) sont ” equivalents. Et par l'axiome " trois pour deux
, pre est ” egalement ” evidente car il suffit d'envoyer u sur f et v
, a m ) de A et l'ensemble des morphismes dans C de X vers A m (a 0 , . . . , a m ) Ceci est en particulier vrai pour C = EN SSIMP. En outre, par Yoneda, l'ensemble des morphismes dans EN SSIMP de ?[n] vers A m (a 0 , . . . , a m ) est naturellement isomorphè a l'ensemble (A m (a 0 , . . . , a m )) n qui n'est autre que A m , m) de ?[m]?X sur le m + 1-uplet d'objets (a 0 , . . . , a m ) de A est naturellement isomorphè a l'ensemble A m Comme l'ensemble A m, Preuve : Par propri” et” e de la construction ?
, un ” el” ement de A m,n est repr” esent” e par la pr” ecat” egorie de Segal ?[m]??[n], il vient que toute pr” ecat” egorie de Segal n'est
, Par propri” et” e universelle de la colimite , il vient que Hom T OP (|A|, X) est naturellement isomorphè a la colimite des Hom T OP (|?[m]??[n]|, X) Or cet ensemble n'est autre que SSing(X) m,n , qui par le lemme pr” ec” edent est naturellement isomorphè a l'ensemble des morphismes de pr” ecat” egories de Segal de ?[m]??[n] dans SSing(X) Ainsi Hom T OP (|A|, X) est naturellement isomorphè a la colimite des Hom EN SSIMP?PC (?[m]??
, SSing(X) est un groupoˆ ?de de Segal De ce fait, le groupoˆ ?de de Segal SSing(X) possède des groupes d'homotopie qu'il serait int” eressant de compareràcomparerà ceux de l'espace topologique X
, Pour commencer, remarquons que la r” ealisation g” eom” etrique de ?[1]??[0] est le segment [0, 1], qui est l'espace topologique caract” erisant les chemins
, SSing(|A|) est un groupoˆ ?de de Segal, par d” efinition de son ? 0, SSing(|A|)) n'est autre que ? 0 (SSing(|A|))
, 12 que les groupes d'homotopie de SSing(|A|) sont naturellement isomorphesàisomorphesà ceux de |A|. Ainsi ? 0 (SSing(|A|)) est naturellement isomorphè a ? 0 (|A|) et donc ? 0 (?) n'est autre que le morphisme naturel de ? 0 (A) dans ? 0 (|A|) qui est une bijection
, 1 (x, y) est une ” equivalence faible d'ensembles simpliciaux, donc que |? 1 (x, y)| simp est une ” equivalence d'homotopie faible. D'après la d” emonstration du lemme 6.3.12, on a que SSing(|A|) 1 (x, y) n'est autre que l'ensemble simplicial Sing(Chemin x,y (|A|)) Ainsi |? 1 (x, y)| simp est un morphisme de |A 1 (x, y)| simp dans |Sing(Chemin x,y (|A|))| simp . Or les foncteurs Sing et |.| simp r” ealisent une ” equivalence de Quillen entre les ensembles simpliciaux et les espaces topologiques. En particulier, le morphisme naturel de |Sing(Chemin x,y (|A|))| simp dans Chemin x,y (|A|) induit par l'adjonction est une ” equivalence d'homotopie faible. Pr” ecompos” ee par |? 1 (x, y)| simp on obtient le morphisme naturel de |A 1 (x, y)| simp dans Chemin x,y (|A|) Comme la r” ealisation g” eom” etrique des ensembles simpliciaux commute aux produits fibr” es
, Descente pour les n-champs, preprint
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DOI : 10.1007/BFb0097438
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