Les paragraphes suivants décrivent les espaces de travail entre lesquels seront définis les opérateurs intervenant dans la reconstruction EricApod EricMatres. configuration en Y.
Il s'agit de l'espace
des fonctions
de distribution des températures de brillance
échantillonnées qui prennent leurs valeurs
aux
noeuds
de la grille
spatiale
LannesA LannesB.
L'espace dual
est l'image de
par l'opérateur de transformée
de FOURIER. Autrement dit, c'est l'espace des transformées de FOURIER
prenant leurs valeurs
aux noeuds
de la grille de FOURIER
.
Les fonctions
à bande limitée dans
, définies comme
étant les fonctions dont la transformée de
FOURIER
est confinée dans la couverture
fréquentielle expérimentale
, joue un rôle important dans la
synthèse de FOURIER LannesB. Elles appartiennent au
sous-espace
de
, dont l'image par l'opérateur de
transformée de FOURIER est le sous-espace
de
.
Les fonctions
prennent leurs
valeurs
aux noeuds
de la grille de FOURIER uniquement
contenue dans
.
Les fréquences spatiales
, associées à
chaque couple d'antennes
et
de l'instrument, appartiennent à une liste
finie
dans le domaine de FOURIER :
![]() |
(4.36) |
D'après les propriétés d'hermiticité de la transformée de FOURIER des
fonctions réelles, et celles des visibilités complexes,
les espace duaux
et
peuvent être définis sur la moitié seulement des noeuds des grilles
utilisées. La même remarque vaut pour l'espace des données
et la
liste des fréquences expérimentales
.
Cependant, afin d'introduire confortablement ces espaces et leurs normes, il était préférable de ne faire cette remarque qu'en dernier lieu plutôt que d'introduire une difficulté supplémentaire, et par là même une dose de confusion, dans leur définition.
Ainsi, pour un instrument de type MIRAS possédant
antennes avant et
antennes arrières par bras, soit
antennes au total, et
pour un instrument de type
HUT2D qui ne possède pas d'antennes arrières, le nombre de visibilités complexes mesurées est
auquel il convient d'ajouter une mesure réelle à la
fréquence nulle fournie par les NIR , soient
visibilités au total. L'espace des
données
est donc isomorphe à
, et
donc
pour MIRAS et
pour HUT2D.
De même, le nombre de fréquences contenues dans la bande
passante est
pour MIRAS et
pour le HUT2D, auquel
il convient d'ajouter la fréquence nulle. L'espace dual
est donc isomorphe à
, avec
pour MIRAS et
, soit
pour MIRAS et
pour HUT2D.
Pour finir, l'espace des objets est isomorphe à
, soit
(
) pour MIRAS et à
(
) pour HUT2D. De même, compte tenu de la propriété
d'hermiticité,
est isomorphe à
, soit
pour MIRAS et à
pour HUT2D. Le tableau 4.1
résume ces quelques résultats pour MIRAS et HUT2D.
Le passage du domaine de FOURIER au domaine spatiale, et inversement, est une opération courante en synthèse de FOURIER.
Soit, donc, l'opérateur de transformée de
FOURIER
:
![]() |
![]() ![]() |
(4.37) |
Dès lors que l'on est amené à considérer des instruments à bande passante limitée, il est nécessaire de disposer d'un opérateur permettant compléter avec des zéros la grille contenant les données interférométriques.
Soit, maintenant,
l'opérateur de remplissage de
zéros (zero-padding) au-delà
de la couverture fréquentielle expérimentale
:
![]() |
![]() |
(4.38) |
La présence d'un sous-espace des fonctions à bande passante
limitée rend nécessaire la définition d'un projecteur
permettant le passage de
à
.
Etant données les définitions précédentes, il est
possible d'introduire
:
![]() |
(4.39) |