L'erreur systématique (terme générique regroupant le biais et l'erreur RMS) est ici pour la première fois caractérisée, premièrement, compte tenu de la qualité de l'instrument et deuxièmement, pour des instruments réalistes de type MIRAS et HUT2D, en fonction de la nature de la scène et des fenêtre d'apodisation.
La carte de températures de brillance observée est simulée sur une grille
hexagonale de
pixels pour MIRAS
avec un pas
(le même que pour
la grille d'échantillonnage de la reconstruction) et une
grille
pour HUT2D avec, de même,
un pas
. Aucun phénomène
de repliement n'est observé, puisque
la scène simulée est entièrement comprise dans le
champ de vue accessible à la reconstruction.
La scène observée à son plus haut niveau de
résolution est notée
. Les visibilités sont simulées à
l'aide de la matrice de modélisation
d'un instrument
réaliste :
Etant donnée que même un instrument idéal ne saurait
reconstruire la scène observée à son plus haut niveau de
résolution, les scènes reconstruites seront comparées à une
scène de référence
reconstruite à partir des
visibilités simulées avec un instrument idéal et à l'aide
d'une simple
inverse. Cette scène est bien entendu
apodisée ainsi que toutes les reconstructions présentées par
la suite :
L'erreur de reconstruction est alors caractérisée par la
statistique de la différence pixel à pixel
entre la scène reconstruite et la scène de référence :
![]() |
(10.3) | ||
![]() |
(10.4) | ||
![]() |
(10.5) |
Or, même en l'absence de bruit sur les données, l'erreur de reconstruction ( , ) n'est pas nulle (l'exposant 0 signalant l'absence d'erreurs de modélisation et de bruit sur les données).
Pour un instrument idéal, l'erreur systématique est faible : K, K lorsque la scène observée est la scène présentée par la figure 10.4-c (reconstruction apodisée par la fenêtre de BLACKMAN), soit un biais 100 fois plus faible et une erreur RMS 10 fois plus faible que pour un instrument réaliste (voir Tab. 10.2).
Pour étudier cette effet, des simulations-reconstructions ont été effectuées en considérant un instrument idéal (gains d'antennes tous identiques, pas de phase, pas d'effet de décorrélation spatiale) pour une configuration en Y de type MIRAS et que l'on a ensuite perturbé. La fenêtre d'apodisation est la fenêtre de BLACKMAN.
L'objet de cette étude est de montrer, d'une part, la dépendance de l'erreur systématique en la dispersion des caractéristiques de l'instrument par rapport aux valeurs nominales et d'autre part, l'importance d'avoir une faible dispersion des caractéristiques des antennes situées sur le hub central.
Dans un premier temps, une antenne de l'un des bras voit
la largeur de son lobe principal augmentée de
10
. Nous allons étudier la variation de l'erreur
systématique avec la position de cette antenne sur le bras
de l'instrument, en perturbant successivement chacune des
antennes d'un bras donné, depuis l'antenne la plus au centre
du hub vers l'antenne la plus éloignée.
La simulation des visibilités se fait à partir de
cet instrument idéal légèrement perturbé. Etant donnée la
faible dispersion des gains d'antennes et l'absence d'effet
de décorrélation, une reconstruction à partir d'une simple
inverse suffit à donner une information qualitative sur
la variation de l'erreur systématique.
La figure 10.1 montre que le biais et la déviation standard diminuent lorsque la distance entre la position de l'antenne perturbée et le centre du hub augmente. Si le biais reste faible ( K), la déviation standard peut atteindre 1.4 K. Une explication possible de ce phénomène est la suivante.
Les antennes proches du hub sont
plutôt présentes dans les petites lignes de bases (
basses fréquences) et participent donc à la définition des
grandes structures de la scène observée. Inversement, les
antennes les plus éloignée sont plutôt impliquées dans la
définition des grandes lignes de bases (
hautes fréquences) qui délivrent une
information sur les structures à petite échelle de la scène
observée.
Considérons deux couples d'antennes définissant deux lignes de bases redondantes correspondant à une même basse fréquence de la bande passante, l'une de ces quatre antennes étant l'antenne perturbée. Etant données ses caractéristiques particulières, cette dernière n'observe pas la même scène que les trois autres. Chacun de ces couples va donc fournir une valeur différente de la fonction de cohérence spatiale à la fréquence correspondante. Le processus de reconstruction, quel qu'il soit, va alors chercher à retrouver une structure à grande échelle dans la scène reconstruite s'accordant au mieux avec ces deux mesures quelque peu contradictoires. L'erreur alors commise sur ces grandes structures de la carte reconstruite est plus importante que lorsqu'elle concerne les structures à plus petite échelle contrôlée par les grandes lignes de bases.
La source de l'erreur de reconstruction semble bien liée au fait qu'une antenne observe une scène différente de celle observée par les autres antennes. J'ai ainsi vérifié que, pour une position donnée de l'antenne perturbée, cette erreur augmente lorsque la largeur du lobe principale de l'antenne perturbée est augmentée ou lorsqu'elle est diminuée (voir Fig. 10.2).
|
|
Pour un instrument réaliste donné, l'erreur systématique dépend de la scène et de la fenêtre d'apodisation utilisée. Les scènes 1 et 2 (illustrées par les figures 10.4 et 10.3) ont été élaborées pour contenir peu de composantes à basse fréquence et la scène 3 est la plus réaliste. Pour cette étude, seule l'erreur RMS est considérée.
De même que précédemment (relation (10.1)), les visibilités sont simulées à partir de ces scènes à leur plus haut niveau de résolution et à l'aide de la matrice de modélisation. La scène de référence est définie par la relation (10.2).
Cette même matrice de modélisation
est utilisée pour la définition des opérateurs
de reconstruction
(
optimal) et
, respectivement pour les méthodes de régularisation
mathématique et à bande passante limitée. L'apodisation se fait
ainsi que le montrent les relations (8.23) et
(8.24).
Les tableaux 10.2 et 10.1 indiquent l'erreur pour différentes fenêtres et pour ces trois scènes. Bien entendu, plus la fenêtre a de faibles lobes secondaires, plus l'erreur systématique est faible.
On y trouve aussi des informations sur l'origine de
l'énergie contenue dans les visibilités (
): Moy est
l'énergie des visibilités calculée pour une scène uniforme
à la température moyenne de
, BF est l'énergie
des visibilités calculée pour une version basse fréquence de
et HF pour une version haute fréquence. Le
pourcentage est donné par comparaison avec
.
La spécificité des scènes 1 et 2 fait d'abord ressortir la
caractéristique de la bande passante de chacun des
instruments. Pour chaque configuration, cette dernière
possède une direction privilégiée, selon l'axe
(vertical), pour
laquelle il possible d'accéder à de plus hautes
fréquences. Cette orientation privilégiée est faiblement
marquée pour un instrument de type HUT2D (bande passante
légèrement rectangle) et fortement marqué
pour un instrument de type MIRAS (la pointe de l'étoile est
orientée selon l'axe
et le creux selon l'axe
(horizontal). Ainsi, l'erreur systématique est-elle plus
élevée lorsque la scène observée possède des hautes
fréquences selon l'axe
, c.-à-d. lorsqu'elle est composée de
bandes verticales, cet écart étant plus marqué pour une
configuration en Y que pour une configuration en U.
La répartition de l'énergie est aussi une source d'explication de la variation de l'erreur systématique avec la nature de la scène : l'erreur est faible si la scène observée est fortement à basse fréquence. Ainsi, la reconstruction de la scène 3 est-elle de bien meilleure qualité pour HUT2D (contribution BF à 11.2% comparé au 3% pour les scènes 1 et 2, jusqu'à deux fois plus petit). Il en est de même pour les scènes 2 et 3 comparées à la scène 1 pour MIRAS (8% et 6% respectivement, comparés à 1% pour la scène 1, est alors 2 à 3 fois plus petit).
L'erreur systématique est aussi sensible à la contribution haute fréquence. Pour des contributions basse fréquence comparable (3% environ, scènes 1 et 2 pour HUT2D), est plus faible lorsque la contribution haute fréquence est la plus faible : % et K pour la scène 1 et % et K pour la scène 2, fenêtre de HANNING.
L'erreur systématique varie aussi selon la méthode de reconstruction. La solution à bande passante limitée présente une plus grande erreur systématique, comparée à la solution de la régularisation mathématique, lorsque la contribution des hautes fréquences est élevée. Ainsi, est le plus faible avec l'opérateur pour les scènes 2 et 3 pour MIRAS et uniquement pour la scène 1 pour HUT2D. L'écart entre les méthodes est plus marqué pour la configuration en U que pour la configuration en Y. La résolution de la solution à bande passante limitée étant imposée comme étant celle de l'instrument, il est compréhensible qu'elle ne puisse pas prendre en compte la présence de hautes fréquences dans la scène observée, alors que la résolution n'est pas imposée pour la solution obtenue par la régularisation mathématique. Dans ce cas, même si toutes les scènes sont finalement apodisées et n'ont donc pas de composantes de FOURIER en dehors de la bande passante, le processus de reconstruction conduit à une répartition différente de l'information dans la bande passante, favorisant légèrement les hautes fréquences comparé à la méthode à bande passante limitée.
En conclusion, même en l'absence d'erreur de modélisation ou
d'erreur sur les données, il existe une erreur systématique
due à la contamination des visibilités par les hautes
fréquences de la scène observée. La résolution limitée de
l'instrument ne permet pas d'accéder à cette information et
moins la scène comportera de composantes à basse fréquence,
comme au bord des côtes, plus l'erreur systématique sera
importante. La simulation de scènes privilégiant un axe
donné du domaine spatial et donc du domaine de FOURIER a
permis d'exhiber une orientation privilégiée due à
l'asymétrie de la bande passante. L'opérateur
n'imposant pas de solution à bande passante limitée,
l'erreur systématique est dans certain cas légèrement
inférieure que pour la solution obtenue avec l'opérateur
.
|
|
scène
|
fenêtre
|
![]() |
![]() |
Moy
|
BF
|
HF
|
Tot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rectangle
|
2.097
|
1.389
|
|
|
|
|
|
Hanning
|
0.499
|
0.334
|
|
|
|
|
|
Hamming
|
0.632
|
0.424
|
|
|
|
|
1
|
Blackman
|
0.284
|
0.187
|
86.31%
|
3.31%
|
6
%
|
89.62%
|
|
Filler D (
)
|
0.401
|
0.267
|
|
|
|
|
|
Kaiser(
)
|
0.395
|
0.263
|
|
|
|
|
|
Mass(
)
|
0.391
|
0.260
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rectangle
|
1.588
|
2.345
|
|
|
|
|
|
Hanning
|
0.326
|
0.441
|
|
|
|
|
|
Hamming
|
0.424
|
0.595
|
|
|
|
|
2
|
Blackman
|
0.202
|
0.258
|
85.06%
|
3.59%
|
2
%
|
88.66%
|
|
Filler D(
)
|
0.272
|
0.364
|
|
|
|
|
|
Kaiser(
)
|
0.266
|
0.356
|
|
|
|
|
|
Mass(
)
|
0.265
|
0.355
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rectangle
|
0.925
|
1.113
|
|
|
|
|
|
Hanning
|
0.177
|
0.184
|
|
|
|
|
|
Hamming
|
0.233
|
0.261
|
|
|
|
|
3
|
Blackman
|
0.112
|
0.101
|
77.53%
|
11.18%
|
5
%
|
88.71%
|
|
Filler D(
)
|
0.149
|
0.151
|
|
|
|
|
|
Kaiser(
)
|
0.146
|
0.147
|
|
|
|
|
|
Mass(
)
|
0.145
|
0.146
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
scène
|
fenêtre
|
![]() |
![]() |
Moy
|
BF
|
HF
|
Tot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rectangle
|
1.081
|
1.256
|
|
|
|
|
|
Hanning
|
0.322
|
0.383
|
|
|
|
|
1
|
Hamming
|
0.380
|
0.454
|
|
|
|
|
|
Blackman
|
0.201
|
0.236
|
98.07%
|
1.33%
|
2.4
%
|
99.41%
|
|
Filler D(
)
|
0.245
|
0.290
|
|
|
|
|
|
Kaiser(
)
|
0.317
|
0.379
|
|
|
|
|
|
Mass(
)
|
0.357
|
0.427
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rectangle
|
0.642
|
0.523
|
|
|
|
|
|
Hanning
|
0.116
|
0.101
|
|
|
|
|
2
|
Hamming
|
0.146
|
0.125
|
|
|
|
|
|
Blackman
|
0.081
|
0.072
|
87.65%
|
8.60%
|
3.6
%
|
96.25%
|
|
Filler D(
)
|
0.094
|
0.083
|
|
|
|
|
|
Kaiser(
)
|
0.118
|
0.102
|
|
|
|
|
|
Mass(
)
|
0.135
|
0.116
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rectangle
|
0.652
|
0.602
|
|
|
|
|
|
Hanning
|
0.118
|
0.108
|
|
|
|
|
|
Hamming
|
0.146
|
0.133
|
|
|
|
|
3
|
Blackman
|
0.086
|
0.080
|
94.09%
|
6.29%
|
6.4
%
|
100.8%
|
|
Filler D(
)
|
0.098
|
0.090
|
|
|
|
|
|
Kaiser(
)
|
0.120
|
0.109
|
|
|
|
|
|
Mass(
)
|
0.135
|
0.122
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|