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10.2 Erreur systématique et repliement

Pour cette étude, la scène observée est simulée pour l'ensemble du cercle unité. Ici, sur la figure 10.5, la scène observée à son plus haut niveau de résolution est une distribution de températures réaliste pour l'Europe de l'Ouest, notée par la suite . On reconnaît, les côtes françaises de l'atlantique ainsi que la péninsule ibérique. L'effet miroir est dû au passage du repère terrestre au repère des cosinus directeurs. La température est supérieure à 200 K sur les continents et proche de 100 K sur les océans. On observe un effet de la polarisation (ici polarisation H) au bord de l'horizon terrestre, l'intensité diminuant avec l'angle d'incidence. On choisit de négliger la température du ciel que l'on fixe à 0 K.

La scène de référence est la scène reconstruite à partir des visibilités mesurées pour un instrument idéal et avec une simple $ \mathcal{TF}$  inverse (relation (10.2)). Un masque est apposé sur la carte reconstruite de manière à ne conserver que la zone non aliasée, avec une marge supplémentaire afin d'éliminer les oscillations de GIBBS plus importantes sur les bords.

Figure 10.5: a), scène observée à la résolution maximale et b), reconstruction de référence : distribution réaliste de températures de brillance en Europe de l'Ouest.

\begin{picture}(16,4.2)(-8,-2.1)
\rput(+0.5,0){
%%%%
\rput(-0.974,0){
\begin...
...0.076,0){$\xi$}
\rput(-2.626,2.45){$\eta$}
}
}
%%%
}
%
\par
\end{picture}
Figure 10.6: Cartes des erreurs de reconstruction obtenues à l'aide de la méthode à bande passante limitée, à partir d'une simulation des températures de brillance en Europe de l'Ouest, a) pour un instrument idéal (  K,  K) et b) pour un instrument réaliste (  K,  K).

\begin{picture}(16,4.2)(-8,-2.1)
\rput(+0.5,0){
%%%%
\rput(-0.974,0){
\begin...
...0.076,0){$\xi$}
\rput(-2.626,2.45){$\eta$}
}
}
%%%
}
%
\par
\end{picture}
La reconstruction est ici effectuée avec la méthode à bande passante limitée. La fenêtre d'apodisation utilisée est la fenêtre de BLACKMAN. La figure 10.6 montrent les cartes d'erreur où l'indice $ p$ désigne maintenant la liste des pixels contenus dans la zone non aliasée (marges exclues). : est estimée en considérant, dans un premier temps, un instrument idéal pour la simulation des visibilités et l'élaboration de l'opérateur de reconstruction $ \mathbf{A}^+$ (Fig. 10.6-a) et dans un deuxième temps, un instrument réaliste pour la simulation et la reconstruction (Fig. 10.6-b).

L'erreur de reconstruction est très faible pour un instrument idéal (  K,  K, Fig. 10.6-a). La répartition de cette erreur est quasi-uniforme dans la zone non aliasée, même si la région située en haut à droite semble contenir des oscillations un peu plus marquées.

Cette erreur est nettement plus grande pour un instrument réaliste : le biais vaut 0.895 K et la déviation standard 0.790 K, une valeur dix fois plus élevée que lorsque le phénomène de repliement n'était pas pris en compte (  K, scène 3, fenêtre de BLACKMAN, Tab. 10.2). On distingue clairement deux régions : une région centrale relativement épargnée, comparée aux régions proches des limites du masque.

Une partie de cette augmentation est imputable au repliement en lui-même et à la dispersion des caractéristiques instrumentales. Pour ne parler que de l'amplitude des antennes, cette dispersion implique que chaque antenne observe une scène différente que celle observée par les autres. Ainsi, chaque ligne de base conduira à un repliement légèrement différent. Or, ce repliement est source de hautes fréquences puisque conduisant à un saut en température au bord de la zone exploitable. Ce sont ces hautes fréquences qui, à cause des imperfections de l'instrument et de ses dimensions limitées, ne pourront être prises en compte lors de la reconstruction et vont donc contribuer à l'erreur systématique.

Une autre source de hautes fréquences est la présence du saut en température au bord de l'horizon terrestre : on passe subitement d'une température comprise entre 100 K et 280 K à une température de quelques Kelvin, température réaliste du Ciel, ici supposée nulle.

Partant de ce constat, la variation de l'erreur systématique avec une température uniforme sur Terre a été établie. La figure 10.9 a été construite à partir de reconstructions effectuées en supposant une température uniforme sur la Terre, variant entre 50 K et 350 K. Le biais et la déviation standard augmentent linéairement avec cette température uniforme :  K,  K pour  K et  K,  K pour  K. Cette variation est conditionnée par le saut en température au bord de l'horizon terrestre dans la scène observée et, même s'il est difficile d'expliquer la linéarité, on sait que la dégradation de la qualité de la reconstruction s'explique par l'augmentation de la fraction d'énergie contenue dans les hautes fréquences de $ T_o$ accompagnant l'augmentation de . On retrouve sur la figure 10.9, en rouge, l'erreur systématique pour la scène réaliste , reportée pour la valeur moyenne de la distribution de températures de brillance sur Terre :  K,  K.

Deux autres reconstructions ont été opérées, toujours à partir d'un instrument réaliste et à l'aide de la méthode à bande passante limitée, mais cette fois pour une scène simulant la variation, typique sur les océans, de la température de brillance avec l'angle d'incidence $ \theta _i$ pour les deux polarisations (Fig. 10.7), horizontale (H) et verticale (V). La température est initialement uniforme et la variation avec $ \theta _i$ pour les deux polarisations est supposée linéaire PWGCpolar :

$\displaystyle =$ (10.6)
$\displaystyle =$ (10.7)

On retrouve sur les cartes des erreurs de reconstruction, illustrées par les figures 10.8-a (H) et 10.8-b (V), les mêmes artefacts que pour la scène réaliste. Il a été vérifié que la localisation et la forme de ces artefacts dépend de la qualité de l'instrument : pour un même ensemble de paramètres pour les antennes et les récepteurs mais pour une répartition différente sur les bras de l'instrument, l'erreur de reconstruction varie peu mais la carte des erreurs exhibe des zones de maximum et de minimum différentes, toujours confinées dans les zones de repliement du Ciel. Ainsi, pour un instrument donné, même si la nature de la distribution de température de brillance sur la Terre change, de même que l'erreur de reconstruction, on retrouve les mêmes artefacts caractéristiques de l'instrument dont l'intensité varie avec la nature de la scène observée.
Figure 10.7: Composantes a) en polarisation H et b) en polarisation V d'une scène de température uniforme à 110 K : variation simplifiée (linéaire) de la température de brillance sur les océans avec l'angle d'incidence.

\begin{picture}(16,4.2)(-8,-2.1)
\rput(+0.5,0){
%%%%
\rput(-0.974,0){
\begin...
...0.076,0){$\xi$}
\rput(-2.626,2.45){$\eta$}
}
}
%%%
}
%
\par
\end{picture}
Figure 10.8: Cartes des erreurs de reconstruction obtenues à l'aide de la méthode à bande passante limitée, , pour un instrument réaliste, à partir d'une simulation de la température de brillance sur l'océan, a) en polarisation H (  K,  K) et b) en polarisation V (  K,  K).

\begin{picture}(16,4.2)(-8,-2.1)
\rput(+0.5,0){
%%%%
\rput(-0.974,0){
\begin...
...0.076,0){$\xi$}
\rput(-2.626,2.45){$\eta$}
}
}
%%%
}
%
\par
\end{picture}
Là encore, l'erreur de reconstruction a été reportée (polar. H en bleu, polar. V en vert) en fonction de la température moyenne sur la Terre :  K pour et  K pour . Etant donnée les variations de la température de brillance de la scène observée, l'erreur systématique est plus grande en polarisation V qu'en polarisation H.

Les trois erreurs systématiques (en rouge, bleu et vert) ainsi reportée sur la figure 10.9 montrent que la température de la scène observée est un bon indicateur permettant de retrouver l'erreur RMS d'après la relation linéaire établie pour des scènes de température uniforme, même si n'est pas directement la cause de cette erreur. Il est plus difficile d'estimer par cette même relation le biais de la reconstruction, l'accord avec les résultats obtenus pour une Terre de température uniforme étant moins bon.

Figure 10.9: Variation du biais (a) et de l'erreur systématique (b) de reconstruction avec une température uniforme sur Terre. En rouge, on retrouve les valeurs de et pour la scène illustrée par la figure 10.5, en bleu (polarisation H) et vert (polarisation V), les scènes illustrées par la figure 10.7.

Puisque l'erreur systématique est liée au saut en température entre la Terre et le Ciel le long de l'horizon terrestre, on a cherché à retirer aux visibilités mesurées une contribution calculée à partir d'une terre ayant une température uniforme égale à la température moyenne sur la terre pour la scène observée. La reconstruction est alors effectuée à partir de ces visibilités corrigées et la valeur moyenne est ajoutée à la carte reconstruite.

La figure 10.10 montre les cartes d'erreur de reconstruction obtenues suite à ce traitement. Tant le biais que la déviation standard sont améliorées par cette approche. Le tableau 10.3 reprend les valeurs de l'erreur systématique pour les trois scènes , et : le biais est diminué de près de 80% du biais initial tandis que l'amélioration de l'erreur RMS est comprise entre 60% et 80% de la valeur initiale.



Table 10.3: Erreur systématique avant et après traitement des visibilités mesurées.
Scène observée Erreur systématique( /  [K]) Amélioration
  avant traitement après traitement en % de la valeur initiale
       
+0.895/0.790 +0.195/0.305 78%/61%
       
+0.448/0.379 +0.094/0.084 79%/78%
       
+0.499/0.694 -0.106/0.122 79%/82%

Des simulations ont été effectuées pour trouver la température moyenne permettant d'annuler le biais ou de diminuer la déviation standard pour la scène . La figure 10.11 illustre les résultats de ces simulations. La température permettant de minimiser la déviation standard est inférieure à la température moyenne sur la Terre pour la scène observée (150 K ou lieu de 164 K). La température annulant le biais, elle, est par contre légèrement supérieure à 200 K.
Figure 10.10: Cartes des erreurs de reconstruction obtenues à l'aide de la méthode à bande passante limitée, pour un instrument réaliste, après traitement des visibilités mesurées : les scènes observées sont a), distribution de températures de brillance sur l'Europe de l'Ouest , b), composante H et c), composante V de la distribution de températures de brillance sur l'océan.

\begin{picture}(16,9.1)(-8,-7)
\rput(+0.5,0){
%%%%
\rput(0,0){
\begin{tabula...
... \rput(-0.076,0){$\xi$}
\rput(-2.626,2.45){$\eta$}
}
}
%%%
}
\end{picture}
En conclusion, il a été établi que les dimensions limitées des radiomètres imageur à synthèse d'ouverture, même dans le cas d'un instrument idéal, sont à l'origine d'une erreur de reconstruction systématique, caractérisée par un biais et une erreur RMS non nulle. Une étude de l'impact de la qualité de l'instrument sur cette erreur fait ressortir l'importance d'une faible dispersion des caractéristiques des antennes et des récepteurs situés sur le hub central pour une configuration en Y.

D'autre part, la contribution de hautes fréquences contenues dans la scène observée et inaccessibles à l'instrument étant la principale source d'erreur systématique, le biais et l'erreur RMS varient en fonction de la nature de la scène observée et, dans une moindre mesure, en fonction de la méthode de reconstruction.

Enfin, le saut important en température entre la Terre et le Ciel le long de l'horizon terrestre tel qu'observé par un instrument réaliste de type MIRAS, couplé avec l'existence d'un repliement dans le champ de vue reconstruit, sont à l'origine d'une erreur systématique bien supérieure à celle obtenue en l'absence de repliement. Ainsi, lors de l'observation des océans, on s'attend ainsi à une erreur systématique plus grande en polarisation H qu'en polarisation V, la température de brillance diminuant avec l'angle d'incidence dans le premier cas et augmentant dans le second.

Toutefois, il est possible de diminuer cette erreur en retirant aux visibilités mesurées la contribution de l'observation d'une Terre de température uniforme égale à la température moyenne de la distribution terrestre observée. Dans le cadre du traitement de données réelles, cette température moyenne pourrait être estimée, soit d'après des simulations, soit d'après des reconstructions effectuées pour des visites précédentes.

Figure 10.11: a), erreur RMS et biais de reconstruction en obtenus après traitement des visibilités mesurées en fonction de la température moyenne considérée. b), variation du biais avec et c), variation de l'erreur RMS avec . En rouge, on retrouve l'erreur de reconstruction obtenue en considérant la véritable température moyenne sur Terre,  K.

[bibli]
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2005-03-31