4.4 Diffusion par une surface rugueuse


PIC 
PIC
(a)  
(b)

FIG. 4.17: Illustration du phénomène de réflexion d’une onde EM sur une surface plane. Sur la figure (a), le rayonnement incident se propage dans la direction --->ki et il est réfléchi dans la direction --->ke  . Le plan d’incidence est orthogonal au plan de la mer (0,--->X  ,             --->Y  ) et fait un angle fi avec le plan (O,--->X  ,--->Z  ). Les vecteurs --->ki  et --->ke  sont contenus dans le plan d’incidence. Les angles hi (entre --->ki et --->Z ) et he (entre --->k
e  et --->
Z ) sont égaux. La figure (b) représente une coupe 2D de la figure (a) dans le plan d’incidence.



PIC 
PIC
(a)  
(b)

FIG. 4.18: Illustration du phénomène de réflexion d’une onde EM sur une surface rugueuse. Sur la figure (a), le rayonnement incident se propage dans la direction --->ki et il est réfléchi dans toutes les directions de l’hémisphère supérieur à la surface de la mer. La figure (b) représente une coupe 2D de la figure (a) dans le plan d’incidence, la taille variable des vecteurs émergents représente symboliquement la variation de la puissance réfléchie avec la direction de reflexion (i.e. le diagramme de diffusion).


Comme on l’a vu dans la section 4.3.4, la surface de la mer n’est jamais strictement plane ne serait-ce que par l’action du vent local qui est compris sur la majeure partie des océans entre 4 et 12 ms-1 (voir les histogrammes 4.49). Le modèle d’emissivité pour une mer plane exposé dans la section 2.3 n’est donc pas applicable. Ce modèle de Tbmer en bande L dépendait de la polarisation, de la SSS, de la SST et de l’angle d’incidence h. Il faut le modifier pour qu’il prenne en compte la rugosité de la surface océanique. Pour cela, il faut remplacer les coefficients de reflexion de Fresnel dans (2.22) par les coefficient de reflexion d’une surface rugueuse. On a alors

Tb mer = SST .(1- R)

R est le coefficient de reflexion d’une surface rugueuse que l’on peut toujours décomposer sous la forme

R = R  + dR
     Fr

avec dR une correction due à la rugosité de la surface. Je vais traiter dans cette section de l’influence de la rugosité sur la reflectivité de la surface océanique, c’est à dire déterminer R.

La surface de l’océan est constituée de vagues de diverses échelles. Si la surface de la mer était plane (et d’étendue infinie), la puissance radiative incidente provenant d’une direction

--->
ki = sinhicosfix +sinhisin fiy - coshiz
serait réfléchie spéculairement, c’est à dire que le rayonnement émergent serait dans la direction
--->ke = sinhecosfex+ sinhesin fey+ coshez
contenue dans le plan d’incidence (i.e. fe = fi), et que

--->
ke  ferait un angle he avec la normale à la mer identique à l’angle d’incidence hi (figure 4.17). La fraction de la puissance incidente qui serait réfléchie serait donnée par les coefficients de Fresnel (2.23), et elle serait entièrement transportée dans la direction

--->
ke . Comme la surface est en réalité rugueuse, il y a une infinité de rayonnements émergents dans toutes les directions de l’hémisphère supérieur à la surface de la mer, chacun transportant une fraction de la puissance incidente (4.18.b). Il y a alors diffusion de l’onde incidente par la surface.

Pour calculer la diffusion des ondes EM par une surface rugueuse séparant deux milieux homogènes, on va distinguer les méthodes ”rigoureuses” des méthodes ”approximées”. Les premières consistent en la résolution rigoureuse des équations de Maxwell et nécessitent des durées de calculs rédibitoires pour les études menées au cours de cette thèse. Ces méthodes nécessitent de générer un grand nombre de surfaces rugueuses déterministes de taille finie, constituant un ensemble statistique dont les caractéristiques correspondent aux caractéristiques statistiques de la surface à étudier, en l’occurence de la surface océanique (méthode de Monte Carlo). Chaque surface doit être suffisamment grande pour inclure toutes les échelles de rugosité, et doit être discrétisée à l’échelle de la longueur d’onde EM. Pour chacune des surfaces déterministes, on calcule un diagramme de diffusion en résolvant les équations de Maxwell sur la surface ; les diagrammes sont ensuite sommés de manière incohérente sous l’hypothèse d’ergodicité qui veut qu’une moyenne d’ensemble est équivalente à une moyenne temporelle ou spatiale (on suppose aussi que les interactions cohérentes entre les ondes diffusées à grande distance les unes des autres sont négligeables).7 Bien qu’en théorie ces méthodes soient exactes, on comprend bien que leur mise en pratique nécessite des approximations pour aboutir à un résultat au bout d’un temps de calcul raisonnable (limitation du nombre de surfaces pour l’ensemble statistique ou de la taille de la surface, résolution du spectre de la surface ou résolution angulaire du diagramme de diffusion, étendue du spectre de la surface limité, ...). Une revue des ces méthodes rigoureuses a été effectuée par Saillard et Sentenac ([77]) et une comparaison de ces méthodes appliquées à une surface de type océanique a été faite par Soriano et al. ([82]). Les méthodes employées au cours de ma thèse pour déterminer le diagramme de diffusion sont des méthodes approximées.

Les méthodes approximées ne sont pas valides sur toutes les échelles de rugosité, car l’approximation repose sur des hypothèses concernant la taille de la rugosité (hauteur ou longueur d’onde) rapportée à la longueur d’onde EM, ou sur la pente des rugosités. J’ai utilisé un modèle deux échelles, qui repose sur deux méthodes approximées, chacune valide pour des échelles de vague différentes. Il décrit en effet la diffusion par la surface océanique par deux phénomènes associés soit aux ”grandes vagues”, soit aux ”petites vagues”. Les grandes vagues, ou la rugosité de grande-échelle (GE), sont des surfaces inclinées qui vont induire une modification de l’angle d’incidence à prendre en compte pour le calcul de la réflectivité (voir la figure 4.19.a). Les petites vagues, ou la rugosité de petite-échelle (PE), vont induire une différence de marche, et donc un déphasage, entre les ondes EM se réflechissant en différents endroits de la surface (4.19.b).

Pour déterminer quelle fraction d’énergie est absorbée par une surface rugueuse, on va déterminer quelle est la puissance totale réfléchie et par conséquent quelle est la puissance réfléchie dans chaque direction (ce que l’on appelle un diagramme de diffusion, voir la figure 4.18.b pour une illustration schématique). On va ensuite appliquer la loi de Kirchhoff, selon laquelle l’émissivité est égale à l’absorptivité, et en déduire la Tbmer d’après

        |_     _|          ( |_    _|    )
         Tv               1
-T----> =   Th   = SST  ×    1   - R  .
 bmer   |_  T3  _|           |_  0  _| 
         T4               0
(4.86)


   4.4.0.1 Méthode des petites perturbations, optique géométrique et modèle à deux échelles
  4.4.1 Fonction de poids pour la diffusion par une surface rugueuse
4.4.0.1 Méthode des petites perturbations, optique géométrique et modèle à deux échelles

PIC
(a)
PIC
(b)

FIG. 4.19: Diffusion par les (a) grandes et (b) petites vagues. (a) Une grande vague est assimilée localement à une surface inclinée plane ou rugueuse selon le modèle (sur le schéma, la surface est supposée plane ce qui correspond à un modèle d’OG) dont la normale (locale) est --->Zl . Un rayonnement incident le long de --->ki  , dont l’angle d’incidence est hi, a un angle d’incidence local hil. La direction de reflexion spéculaire est le long de --->ke  , qui a un angle d’émergence local hel égale à hil, mais qui a un angle d’émergence he différent de hi. (b) Les petites vagues vont induire une différence de marche Dl1 - Dl2 entre le rayonnement arrivant en --->ki1 et celui arrivant en -k-->i2  . Cette différence de marche, qui dépend de he, va induire des interférence entre les deux ondes variant avec he .



PIC
FIG. 4.20: Illustration du phénomène d’ombrage d’une vague à forte pente. Le radiomètre qui a un angle d’incidence h ne voit pas la surface de la vague 2 dont la pente dans la direction de visée du radiomètre est supérieure à coth.



PIC 
PIC
(a)  
(b)

FIG. 4.21: Variances des pentes dans les directions face au vent (a) et sous le vent (b) pour différents nombres d’onde de coupure, d’après le modèles DV ([30]) dont l’amplitude est multipliée par deux.


On cherche à déterminer la Tbmer dans la direction du radiomètre qui est repérée par les angles h et f dans le repère terrestre. Pour une surface plane, on a vu dans la section 2.3 que la T b de la surface dépend de l’angle d’incidence par rapport à la normale à la surface, dit angle d’incidence local (hl). Pour le cas plus général d’une surface qui n’est pas isotrope en angle d’azimut local (fl), contrairement à une surface plane, la Tb dépend en plus de fl. Lorsque la surface est horizontale dans le repère terrestre (i.e. dans le plan (O,X,Y)), on a

hl =   h                                (4.87)

fl =   f                                (4.88)

et la T b de la surface dépend de la direction du radiomètre dans le repère terrestre (h, f). Par contre, lorsque la surface est inclinée avec des pentes Sx et Sy dans les directions X et Y, la direction du radiomètre dans le repère de la vague (hl, fl) est différente de sa direction dans le repère terrestre (h, f), et hl et fl sont des fonctions de Sx, Sy, h et f (voir l’annexe J). Par conséquent, la Tb mesurée par un radiomètre varie avec l’inclinaison de la surface qu’il observe. Ceci ne serait pas vrai pour une surface ayant une T b isotrope en angle d’incidence et d’azimut (surface de Lambert), ce qui n’est pas le cas de la surface océanique.

La surface de la mer peut être modélisée comme un ensemble de facettes inclinées avec des pentes Su et Sc dans les directions respectivement upwind et downwind, dont la probabilité est P(Su , Sc ) dSu dSc . La fonction de densité des probabilités (FDP) est déduite de (4.23) comme étant la suivante

                     [   ((    )2  (   )2)]
P (S ,S ) =---1---exp - 1   Su-   +  Sc     ,
    u  c   2psusc       2   su       sc
(4.89)

su 2 et sc 2 sont respectivement les variances des pentes dans les directions upwind et crosswind, dont l’expression générale est donnée en (4.43) et (4.44).

Chacune de ces facettes va donc avoir une Tb dite ”locale” (Tb,l) dans la direction du radiomètre ; chaque facette aura une Tb,l différente selon ses pentes. Pour déterminer Tbmer, on va intégrer toutes les Tb,lsur la distribution statistique des pentes. Ainsi, la Tbmer observée par le radiomètre est donnée par

             integral    integral 
Tbmer(h,f) =       Tb,l(hl,fl)_O_sP (Su,Sc)dSudSc
             Su Sc
(4.90)

_O_s est un facteur qui prend en compte la surface effective vue par le radiomètre, réduite à cause de l’inclinaison de la vague par rapport au radiomètre. Si l’on définit les pentes Sx' et Sy' comme les pentes d’une vague respectivement dans la direction du radiomètre et dans la direction transverse à la direction du radiomètre, on a (voir l’annexe K.1)

_O_  = (1 - S'tanh).
 s        x
(4.91)

On relie alors les pentes Su et Sc aux pentes Sx' et Sy' par les relations (voir l’annexe K) suivantes

      '        '
Su = Sx cosf0- Sysinf0,                          (4.92)
Sc = S'xsin f0 + S'y cosf0,                          (4.93)

f0 est l’angle entre la direction du radiomètre et la direction la direction du vent, et on exprime (4.90) comme une intégrale sur les pentes Sx' et Sy'

           integral  + oo   integral  + coth           '      '         '  '
Tbmer(h,f) = -  oo  -  oo   Tb,l(hl,fl)(1- Sxtanh)P (Su,Sc)dS xdSy,
(4.94)

où la limite supérieure des Sx' est égale à coth pour prendre en compte le phenomène d’ombrage8 illustré sur la figure 4.20 et

P '(Su,Sc) =  integral -- integral -------P(Su,Sc)--------------.
            -+ oo  oo  +-c oo oth(1 - S'xtanh)P (Su,Sc)dS'xdS'y

Pour résoudre (4.94), il faut déterminer Tb,l(hl,fl). On peut alors adopter deux approches.

L’approche la plus simple est de considérer que les facettes sont lisses, de sorte que Tb,l soit donné par (voir la section 2.3)

Tb,l(hl) = SST .(1 - RFr(hl)),

et soit indépendant de fl. Ce modèle est l’approximation d’optique géométrique (OG), qui n’est valide que pour des vagues qui sont grandes devant c0, de sorte qu’elles sont assimilées localement à des plans ([73 ]).

Une autre approche consiste à considérer les facettes comme des surface rugueuses, c’est à dire à superposer de la rugosité de petite échelle (PE) à la rugosité de grande échelle (GE). Cette approche est celle des modèles dit ”deux échelles”. C’est ce type de modèles que j’ai utilisé.

On définit les GE comme les vagues dont la longueur d’onde (c) est grande devant celle du radiomètre (c0 ), et les PE comme les vagues dont la hauteur h est petite devant c0. On sépare les GE et les PE par un nombre d’onde de coupure kd, qui vaut une fraction de k0, le nombre d’onde du radiomètre. Par conséquent, on peut séparer le spectre des vagues Y(k,f0) en deux parties définies par

               {
Y   (k,f ) =     Y(k,f0)   si k < kd                   (4.95)
 GE     0           0      si k > kd
               {    0      si k < kd
YP E(k,f0) =     Y(k,f0)   si k > kd                   (4.96)

kd généralement considéré comme étant entre k0/5 et k0/3 ([102]), soit entre 6 rad.m-1 et 10 rad.m-1 pour la bande L. Je traite de l’influence de la valeur de kd sur la prédiction de la Tbmer en bande L dans la section 5.1.2.

La FDP des pentes P(Su,Sc) dans (4.90) est alors calculée pour les GE uniquement, soit

                           [    ((      )2  (      )2)]
PGE(Su,Sc) = -----1------exp - 1    -Su--   +  -Sc--     ,
            2psu,GE sc,GE       2    su,GE       sc,GE
(4.97)

où les variances des pentes des grandes vagues su,GE et sc,GE sont données par

           integral  k          integral  2p
s2     =     dk2S(k)dk     P(k,f )cos2 f df  et             (4.98)
 u,GE      0            0       0      0  0
  2        integral  kd 2       integral  2p         2
sc,GE  =      k S(k)dk     P(k,f0)sin f0 df0.               (4.99)
           0            0

La variance des pentes des grandes vagues pour kd = 6 rad.m-1 ou kd = 10 rad.m-1, ainsi que celle de toutes les vagues (i.e. pour kd =  oo ), sont reportées sur la figure 4.21. Ces variances ont été calculées à partir du modèle de spectre DV2. La variance des pentes est beaucoup plus faible et beaucoup moins variable avec le vent lorsque l’on se limite aux GE. De plus, alors que la variance des pentes de toutes les vagues varie avec la direction du vent, celle des grandes vagues est quasiment isotrope (pour le modèle DV2 mais pas pour d’autres modèles, voir la section 5.1.3).

La T b,l d’une facette peut s’écrire sous la forme suivante

Tb,l(hl,fl) = SST .[1- RPE (hl,fl)]
(4.100)

R PE est la reflectivité induite par la rugosité de petite échelle présente sur la facette. On a alors, d’après (4.94),

      integral  +o o   integral  + coth
Tbmer(h,f) =            SST .[1- RPE (hl,fl)](1- S'tanh)P'  (Su,Sc)dS'dS',
      - oo   - oo                           x      GE         x   y
(4.101)

soit

        (     integral  + oo   integral  + coth                                  )
Tbmer(h,f) = SST.  1-             RPE (hl,fl)(1 -S'xtanh)P'GE(Su,Sc)dS'xdSy .
              - oo   - oo
(4.102)

Il existe plusieurs méthodes d’approximation pour déterminer RPE (voir la section 5.1). J’ai utilisé la méthode des petites perturbations (SPM, pour Small Perturbation Method), développée à l’ordre deux ([101 ], [105 ]), d’après laquelle RPE est la somme d’un terme de diffusion cohérente (Rc) et de diffusion incohérente (Ri ), soit

RPE (hl,fl) = Rc(hl,fl)+ Ri(hl,fl)
(4.103)

Le terme de diffusion cohérente Rc(hi,fi) traduit la fraction de puissance incidente depuis la direction (hi , fi ) qui est réfléchie spéculairement (i.e. dans la direction (hl = hi,fl = fi)). Le terme de diffusion incohérente quant à lui traduit la fraction de puissance incidente depuis la direction (ha,fa) quelconque et qui est diffusée dans la direction (hl,fl).

Le terme cohérent est

               |_  |  |2 _| 
                ||R(0v)v||
                || (0)||2     integral  2p    integral   oo        (  )
Rc(hi,fi)  =     |R hh|   +     dfa    k20kraYs  kc .
               |_   0    _|    0       0
                  0
               |_         {  (0)* (2)          }       _| 
                    2Re {R vv gvv (er,q,hi,fi)}
                    2Re  R(0h)h*g(2hh)(er,q,hi,fi)
                   { ( (0)*    (0)*) (2)          }   dkra        (4.104)
               |_  2Re {(Rhh - Rvv )gvh (er,q,hi,fi)}  _| 
                2Im   R(0hh)* + R(v0)v* g(v2h)(er,q,hi,fi)

avec

       [                    ]
kc =     kricosfi - kra cosfa  ,                    (4.105)
         krisinfi - kra sinfa

kri  =  k0sinhi,                            (4.106)

et

q =   kra/k0.                             (4.107)

Le terme incohérent est

       integral              integral 
R(h,f)  =    p/2sinh dh   2p -cosha-
ill       0      a  a  0  4pcoshl
        |_     gvvvv(er,hl,fl,ha,fa) + gvhvh (er,hl,fl,ha,fa)     _| 
            ghhhh(er,hl,fl,ha,fa)+ ghvhv (er,hl,fl,ha,fa)
      . |_  2Re{gvhhh(er,hl,fl,ha,fa) + gvvhv(er,hl,fl,ha,fa)}  _|  dfa (4.108)
          2Im{gvhhh(er,hl,fl,ha,fa) + gvvhv (er,hl,fl,ha,fa)}

avec

       [                    ]
         krlcosfl -kra cosfa
ki =     krlsinfl -kra sinfa   ,                    (4.109)

kra  =  k0sinha,                           (4.110)

                         4  2                         (  )
                     4pk-0cos-hlFabmn-(er,hl,fl,ha,fa)-Ys-ki-
gabmn (er,hl,fl,ha,fa)  =                   coshi                ,    (4.111)

et

Fabmn (er,hl,fl,ha,fa) =   g(1)(er,hl,fl,ha,fa)g(m1n)* (er,hl,fl,ha,fa).    (4.112)
                       ab

Dans (4.104) et (4.108), || (0)||
|Rvv|2 et || (0)||
|Rhh|2 sont les coefficients de reflexion de Fresnel, respectivement en V-pol (Rv ) et H-pol (Rh) donnés en (2.23) et (2.25). Dans (4.104) et (4.112), les fonctions gabmn et gab (2) sont les coefficients de diffusion bistatiques donnés dans l’annexe I. Les termes notés (0), (1) et (2) sont respectivement les termes d’ordre 0, 1 et 2 d’un développement limité, qui suppose que la hauteur des PE soit faible devant c0 (i.e. les PE peuvent être considérées comme une petite perturbation de la surface).

En remplaçant dans (4.108) Fabmn par son expression donnée en (4.112), il vient

                                 |_      |   |2  |   |2      _| 
                                       ||gv(1v)|| +||g(v1)h||
       integral  p/2        integral  2p                || (1)||2  || (1)||2
R(h,f) =        sinh dh      k4coshY        {|ghh | +|ghv|    }   df  .(4.113)
ill      0      a  a  0   0    l s  2Re  g(1)g(1)*+ g(v1v) g(1)*       a
                                 |_     { v(h1)h(h1)*   (1)h(v1)*}  _| 
                                  2Im  gvhghh + gvv ghv

Alors, en intergrant sur kra donné en (4.110), il vient

                                |_      || (1)||2  ||(1)||2       _| 
                                      |gvv| + |gvh|
       integral  k0       integral  2p                || (1)||2  ||(1)||2
Ri(hl,fl)  =      kradkra    k20 coshlYs      {|ghh| + |ghv|    }    dfa,(4.114)
       0          0     cosha    |_  2Re g(v1h)g(h1h)* + g(1vv)g(1hv)*   _| 
                                     {  (1) (1)*   (1) (1)*}
                                 2Im   gvh ghh  + gvv ghv

avec

dkra  =  k0coshadha.                         (4.115)

L’expression (4.104) traduisant une reflexion spéculaire, on a

hi  =  hl,                              (4.116)

fi  =  fl,                              (4.117)

soit

kri  =  krl,                              (4.118)

cosfi  =  cosfl,                           (4.119)

et

sinfi  =  sin fl.                           (4.120)

Il vient alors

kc = ki = k                               (4.121)

avec

      [          ]  [                    ]   [    ]
        klx- kax      krlcosfl- kracosfa       kx
k  =    kly- kay  =    krlsin fl- krasin fa   =   ky  .         (4.122)

La somme de (4.104) et (4.108) peut ainsi, d’après (4.114) et (4.121), se mettre sous la forme

    |_  || (0)||2  _| 
     |R vv |      integral       integral 
     ||R(0)||2       2p       oo  2
R=   |_  | hh |  _|  + 0  dfa 0  k0kraYs(k)
        0
     |_   0        {        }                           _| 
             2Re  R(0vv)*g(v2v) + G.[|g(1vv)|2 +|g(1)|2]
                 {  (0)*(2)}       (1)2    v(h1) 2
          {( 2Re  R hh gh)h + G.[|g[hh| +|ghv|]     ]}
   .  2Re   R(0)*- R(0vv)*  g(2)+ G.  g(1)g(1)*+ g(1v)v g(1)*    dkra    (4.123)
     |_     {(  h(h0)*    (0)*) v(h2)     [ vh(1) hh(1)*   (1) h(v1)*]}  _| 
      2Im    Rhh + R vv   gvh + G. gvhghh + gvv ghv

avec

          G = 0  si  kra > k0,                    (4.124)
    coshl   klz
G = ----- = ---  si  kra < k0,                    (4.125)
    cosha   kaz

klz  =  k0coshl,                           (4.126)

et

         V~ --------
k    =    k2- k2 .                          (4.127)
 az        0   ra

En intégrant (4.123) sur (kx,ky), il vient

   |_  |  |2  _| 
    ||R(v0v)||
    || (0)||2     integral   integral 
R=   |Rhh|   +      k20Ys(kx,ky)
   |_    0    _| 
       0
    |_           {  (0)* (2)}      ||(1)||2  || (1)||2          _| 
            2Re  Rvv gvv  + G.[| gvv| + |gvh|]
               {  (0)* (2)}      ||(1)||2  || (1)||2
  .      {( 2Re  Rhh gh)h  + G.[| g[hh| + |ghv|]    ]}    dkxdky.  (4.128)
    |_  2Re  R(0h)h*- R(v0v)*  gv(2h)+ G. g(v1h)g(h1h)* + gv(1v)gh(1v)*     _| 
         {(  (0)*   (0)*)  (2)     [ (1) (1)*    (1) (1)*]}
     2Im   R hh + Rvv   gvh + G.  gvh ghh  + gvv ghv

avec

dkxdky =   kradkradfa.                        (4.129)

Comme

kx  =  k cosf,                            (4.130)

ky  =  k sinf,                             (4.131)

et

k dkdf = dkxdky,                             (4.132)

il vient finalement

    |_  || (0)||2  _| 
      |R| vv||     2 integral p integral  oo 
R=     ||R(0)|| 2   +     k2k Ys(k,f)
    |_    hh   _|        0
        0       0 0
     |_   0       {       }      [|  |   |   |]        _| 
            2Re  R(0vv)*g(v2v) + G.  ||g(v1v)||2 + ||g(1)||2
                {       }      [|  |   | vh |]
            2Re  R(0)*g(2) + G.  ||g(1)||2 + ||g(1)|| 2
   .      {        hh  hh        [hh      hv      ]}   dk df    (4.133)
       2Re  (R(0h)h*- R(v0v)*)g(2v)h + G. g(1vh)g(1h)h*+ g(1v)v g(1h)v*
     |_     {   (0)*   (0)*  (2)     [ (1) (1)*   (1) (1)*]}  _| 
      2Im   (R hh + Rvv )gvh +G.  gvhghh + gvv ghv

avec, dans (4.124),

          V~ -------------
kaz  =     k20- k2ax- k2ay                        (4.134)

et

kax  =  kracosfa = krlcosfl- kx,                   (4.135)

kay  =  kra sinfa = krlsin fl- ky.                   (4.136)

L’expression (4.133) est le résultat de la SPM à l’ordre deux (SPM2). Il existe cependant d’autres approximations pour calculer la diffusion des ondes électromagnétiques par une surface rugueuse. Deux d’entre elles, l’approximation des petites pentes et la méthode de Rice (SPM à l’ordre un), seront comparées à la SPM2 dans la section 5.1.