Adaptive Filtering and Parametric Estimation for Random Processes on Rotation Groups and Stiefel Manifolds
Filtrage adaptatif et estimation paramétrique pour les processus stochastiques à valeurs sur les groupes de rotation et les variétés de Stiefel
Résumé
In this thesis, we focus on stochastic problems for processes defined on manifolds such as the special orthogonal group and the Stiefel manifolds. Such processes are useful to model different engineering systems such as the observation, complete and partial, of an aircraft.
We show that the rotation group SO(3) can also be used to model the state of a linearly transverse polarized wave.
The observation of these pro cesses might be perturbed by noise and in this case, we are looking at an estimate of the non noisy process. That part is treated in Chapter 2. Usual methods cannot be applied due to the nonlinearity of the considered equations (multiplicative noise). Nowadays solutions to this kind of problems only consider local linearization and therefore only present an approximation of the optimal solution. We propose here an optimal solution without local approximation based on the antidevelopp ement. The problem is then reduced to a classic filtering problem with additive noise. We also compare the performances of our method for different numerical scheme.
These processes can also be parametrized and one might be looking at estimate these parameters. An example of this problem is presented in Chapter 3. Considering a polarized wave propagating in a scattering medium, we want to estimate this medium. The propagation is modeled by a compound Poisson process on SO(3) and we present an algorithm to estimate these parameters using the geometric phase of the wave, carried by the direction of polarization. The geometric phase is defined by the path of the wave followed during its propagation in the medium. This phase has been observed for elastic waves in the case of propagation along a waveguide. Usual methods only rely on the distribution of the direction of the scattered wave. The one presented in this thesis also use the information carried by the polarization. We believe that this method can be used as a non intrusive way to perform non intrusive imaging.
Cette thèse s'intéresse au problème stochastiques pour des processus définis sur des variétés telles que le groupe SO(n) et les variétés de Stiefel. De tels processus sont utiles pour modéliser différent systèmes en ingénierie tels que les orientations d'un appareil.
On montre que SO(3) peut aussi être utilisé pour modéliser l'état d'une onde à polarisation linéaire transverse. Son observation peut être perturbée par du bruit et dans ce cas, une estimation de son état est nécessaire. Cette partie est traitée dans le chapitre 2. Les méthodes classiques ne pouvant être utilisées à cause de la non linéarité du modèle, nous proposant une solution optimal basée sur l'antidéveloppement. Le problème est alors réduit à un problème de filtrage classique. Une comparaison entre différentes méthodes numériques est par ailleurs présentée.
Ces processus peuvent être paramétrés et l'on peut chercher à estimer ces paramètres. Un exemple de ce type de problème est présenté dans le chapitre 3. En considérant une onde polarisée qui se propage dans un milieu faiblement diffusant, on cherche à estimer le dit milieu. La propagation peut se modéliser par un processus de Poisson sur SO(3) et l'estimation peut se faire à l'aide de la phase géométrique de l'onde, définie par le chemin suivi durant la propagation. Cette phase a été observée dans le cas d'ondes élastiques se propageant le long d'un guide d'onde. La méthode d'estimation proposée ne tient pas seulement compte de la distribution de la direction de diffusion mais aussi de la direction de polarisation. Nous pensons qu'il est envisageable d'utiliser cette méthode pour effectuer de l'imagerie non intrusive.