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Université d'Angers (16/11/2007), Igor Reider (Dir.)
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L'application cotangente des surfaces de type général
Xavier Roulleau1

Cette thèse est une étude des surfaces de type général dont le fibré cotangent est engendré par ses sections globales et dont l'irrégularité q est supérieure ou égale à 4.
L'objet et le moyen de cette étude est l'application cotangente qui est un morphisme du projectivisé du fibré cotangent dans l'espace projectif de dimension q-1. Nous étudions le degré de ce morphisme et le degré de son image.
Le fibré cotangent est ample si et seulement s'il n'existe pas de fibre de l'application cotangente de dimension strictement positive.
Si le fibré cotangent n'est pas ample, alors il existe une courbe C contenue dans la surface et il existe une section de C dans le projectivisé du fibré cotangent qui est contractée en un point par l'application cotangente. Une telle courbe C est qualifiée de courbe non-ample.
Nous donnons une classification des courbes non-amples de la surface suivant leur auto-intersection. Nous donnons ensuite une classification des surfaces possédant une infinité de courbes non-amples.
Un exemple pour lequel l'application cotangente intervient naturellement est celui des surfaces de Fano. Nous étudions le diviseur de ramification de leur application cotangente ainsi que leurs courbes non-amples.
Cette étude mène à la surface de Fano de la cubique de Fermat qui possède 30 courbes non-amples et dont nous détaillons les propriétés.
1:  LAREMA - Laboratoire Angevin de REcherche en MAthématiques
Surface de type général – surface de Fano – courbes elliptiques – automorphismes

Cotangent map of surfaces og general type
We study here surfaces of general type where the cotangent sheaf is generated by his global sections and with an irregularity q at least equal to 4.
Our approach to object of this study is the cotangent map that is a morphism of the projectivized cotangent sheaf to the projective space of dimension q-1.
We study the degree of this morphism and the degree of its image.
The cotangent sheaf is ample if and only if there do not exist fibers in the cotangent map of strictly positive dimension.
If the cotangent sheaf is not ample, then there exists a curve C in the surface and there exists a section of C in the projectivized cotangent sheaf that meets the cotangent map at a point. We call such a curve a non-ample curve.
We classify non-ample curves according to their self-intersection.
We then proceed to a classification of surfaces possessing an infinite number of non-ample curves.
The Fano surfaces provide an example where the cotangent map normally applies. We study the ramification divisor of such surfaces and their non-ample curves.
The Fano surface of the Fermat's cubic possesses 30 non-ample curves and we describe their properties in detail