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Université d'Angers (11/06/2002), Parusinski Adam (Dir.)
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Les singularités des polynômes à l'infini et les compactifications toriques
David Alessandrini1

Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées comme les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme.

Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace affine C^n. On démontre la trivialité affine d'un polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le gradient par poids de Malgrange-Paunescu : |grad_Wf(z)|_W est minoré. On démontre aussi grâce à la même hypothèse de modération sur le gradient la propriété locale suivante : le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de vecteurs controlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette dernière condition nous donne la condition la plus importante : la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité locale en un point du diviseur.

Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lê et Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale.

Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de l'espace affine C^n.
1:  LAREMA - Laboratoire Angevin de REcherche en MAthématiques
singularités à l'infini – polynôme complexe – variété caractéristique – cycles évanescents – variété torique – champ de vecteurs.

singularity at infinity of complex polynomial and toric compactification
This thesis is devoted to the study of topology of complex polynomials. In the preliminaries, we present the various techniques we used, like stratified vector field and control conditions about this vector field, and toric varieties. We also introduce preparatories results about properties of toric compactification of polynomial's fibers.
In chapter 2, we give main results in the case of weighted toric compactification of affine space C^n. We prove affine polynomial triviality with the help of tame hypothesis on Malgrange-Paunescu's weight gradient : |grad_Wf(z)|_W is lower bounded. Thanks to this hypothesis we also prove that Kuo-Paunescu vector field after toric modification become a control vector field in relation to the divisor at infinity. This last condition give us the main condition : non-characteristic condition. We deduce local triviality in a divisor point.

Chapter 3 is based on Hamm, Lê and Mebkhout works. It describe connection between the non-characteristic condition obtain in chapter 2 and the notion of vanishing cycles and also local triviality.

Chapter 4 generalised theorem of chapter 2 for any toric compactification of affine space C^n.
singularity at infinity – topology of complex polynomial – vanishing cycles – non-characteristic condition