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Fiche détaillée Thèses
Université Joseph-Fourier - Grenoble I (04/10/2010), Gérard Besson (Dir.)
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Processus de diffusion sur un flot de variétés riemanniennes.
Hiba Abdallah1

Le but de la thèse est de relier entre les propriétés de diffusion des variétés riemanniennes et leur géométrie. On veut plonger une famille de variétés riemanniennes dont la métrique est dépendante d'un paramètre t dans un espace de Hilbert par ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t)) telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G.P.S et donne beaucoup d'informations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de la chaleur non linéaire sur (M, g(t)) telle que g(t) soit de volume constant. Finalement, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'avérait vraie, on pourrait plonger (M, g(t)) dans un espace de Hilbert à l'aide de P.
1 :  IF - Institut Fourier
Géométrie riemannienne – variété compacte – laplacien – valeurs/fonctions propres – diffusion – équation de la chaleur – solution fondamentale – paramétrix – plongement.

Diffusion process on a flow of Riemannian manifolds.
In this thesis, we create links between the properties of diffusion of the Riemannian manifold and its geometry. We embedd a family of Riemannian manifolds whose metric is time dependent, into a Hilbert space with its duffusion properties. Namely, via the eigenfunctions of the corresponding laplacian or its heat kernel. We prove that we can construct embeddings via a finite number of eigenfunctions for all families of Riemannian manifolds (M, g(t)) such that g(t) is analytic in t. If the volume of (M, g(t)) is constant, we can construct an embedding with a complete eigenfunctions basis. This embedding will be called  the G.P.S embedding. This embedding is very informative regarding this family of manifolds. Then, we construct the fundamental solution P for the non-linear heat equation acting on (M,g(t)), such that the volume (M, g(t)) is constant. Finally we give a conjecture on the asymptotic formula of P, and we prove that, if this conjecture is true, we can embed (M,g(t)) into a Hilbert space via P.
Riemannian geometry – compact maniflod – Laplacian – eigenvalues/eigenfunctions – diffusion – heat equation – fundamental solution – parametrix – embedding.