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Fiche détaillée Thèses
Université Joseph-Fourier - Grenoble I (20/10/2004), ZAIDENBERG Mikhail (Dir.)
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Sur une classe de schémas avec actions de fibrés en droites
Adrien DUBOULOZ1

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où π:S → X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L → X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' → Y sur un X-schéma δ:Y → X, de telle sorte que l'action de δ*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes.
1 :  IF - Institut Fourier
Actions de groupes additifs – torseurs sous un fibré en droites – dérivations localement nilpotentes – modifications affines équivariantes – surfaces de Danielewski – invariant de Makar-Limanov
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/THESE/ps/t145.ps.gz

On a class of schemes with line bundles actions
On a affine algebraic variety S defined over a field k of characteristic zer o, there exists a well-known correspondence between algebraic actions of the add itive group k+=(k,+) and locally nilpotent derivations of the algebra of regular functions on S. Here we extend this equivalence between actions and derivations to the following relative situation : π:S → X is a scheme over a fixed base scheme X, which comes equipped with an algebraic action of a l ine bundle p:L→X over X. We study a special sub-class of schemes S as above, with the additional property that π:S → X factors through the structural morphism π':S→Y of a principal homogeneous bundle under a line bundle p':L'→Y over an X-scheme δ:Y→X, in such a way that the action of δ*L on S factors through the one of L'. We call them Danielewski-Fieseler schemes. We give different procedures to construct these schemes. In particular, in case that the base scheme X is affine, we give an algorithm which produces explicit embeddings of these schemes in relatives affine spaces over X. Then we study the case that the base scheme X is isomorphic to the affine line over a field k of characteristic zero. In this case, we establish that a Danielewski-Fieseler scheme is uniquely determined by a combinatorial data consisting of a weighted rooted tree. We classify these schemes through their associated trees. Finally, we give a combinatorial characterization of those schemes which admit many actions of the additive group k+ with distinct gener al orbits.
Additive group actions – torsors under lines bundles – locally nilpotent derivations – equivariant affine modifications – Danielewski surfaces – Makar-Limanov invariant