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Université Joseph-Fourier - Grenoble I (27/09/2006), Dominique Duval (Dir.)
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Algèbre linéaire exacte efficace : le calcul du polynôme caractéristique
Clément Pernet1

L'algèbre linéaire est une brique de base essentielle du calcul scientifique. Initialement dominée par le calcul numérique, elle connaît depuis les dix dernières années des progrès considérables en calcul exact. Ces avancées algorithmiques rendant l'approche exacte envisageable, il est devenu nécessaire de considérer leur mise en pratique. Nous présentons la mise en oeuvre de routines de base en algèbre linéaire exacte dont l'efficacité sur les corps finis est comparable celles des BLAS numériques. Au délà des applications propres au calcul exact, nous montrons qu'elles offrent une alternative au calcul numérique multiprécision pour la résolution de certains problèmes numériques mal conditionnés.

Le calcul du polynôme caractéristique est l'un des problèmes classiques en algèbre linéaire. Son calcul exact permet par exemple de déterminer la similitude entre deux matrices, par le calcul de la forme normale de Frobenius, ou la cospectralité de deux graphes. Si l'amélioration de sa complexité théorique reste un problème ouvert, tant pour les méthodes denses que boîte noire, nous abordons la question du point de vue de la praticabilité : des algorithmes adaptatifs pour les matrices denses ou boîte noire sont dérivés des meilleurs algorithmes existants pour assurer l'efficacité en pratique. Cela permet de traiter de façon exacte des problèmes de dimensions jusqu'alors inaccessibles.
1:  LMC - IMAG - Laboratoire de Modélisation et Calcul
Calcul exact – BLAS – Arithmétique matricielle rapide – Polynômecaractéristique – Forme normale de Frobenius – Algorithmes de Keller-Gehrig – Matrice dense – Matrice en boîte noire.
http://www-lmc.imag.fr/lmc-mosaic/Clement.Pernet/Publications/these_pernet.pdf

Efficient exact linear algebra: computing the characteristic polynomial
Linear algebra is a building block in scientific computation. Initially dominated by the numerical computation, it has been the scene of major breakthrough in exact computation during the last decade. These algorithmic progresses making the exact computation approach feasible, it became necessary to consider these algorithms from the viewpoint of practicability. We present the building of a set of basic exact linear algebra subroutines. Their efficiency over a finite field near the numerical BLAS. Beyond the applications in exact computation, we show that they offer an
alternative to the multiprecision numerical methods for the resolution of ill-conditioned problems.

The computation of the characteristic polynomial is part of the classic problem in linear algebra. Its exact computation, e.g. helps determine the similarity equivalence between two matrices, using the Frobenius normal form, or the cospectrality of two graphs. The improvement of its theoretical complexity remains an open problem, for both dense or black-box methods. We address this problem from the viewpoint of efficiency in practice: adaptive algorithms for dense or black-box matrices are derived from the best existing algorithms, to ensure high efficiency in practice.
It makes it possible to handle problems whose dimensions was up to now unreachable.
Exact computation – Linear algebra – BLAS – Characteristic polynomial – Keller-Gehrig algorithms – Dense matrices – Black Box.