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Université Joseph-Fourier - Grenoble I (17/11/2003), Lacolle Bernard (Dir.)
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Représentation géométrique des arrangements de droites du plan
Guillaume Allègre1

Les arrangements de droites du plan sont étudiés en géométrie algorithmique pour leur simplicité géométrique couplée à leur grande richesse combinatoire, ou topologique. Notre contribution porte en partie sur la recherche de structures de données couplées à des algorithmes, efficaces à la fois pour la construction des arrangements et l'exploitation de l'information minimale les définissant. Mais l'apport principal de notre travail est l'étude de la représentation géo-métrique des arrangements, notamment par la définition d'une équivalence géométrique entre deux ensembles de droites du plan euclidien par isotopie, qui justifie théoriquement l'algorithme d'optimisation géométrique que nous proposons. Cet algorithme se base sur des critères de ``lisibilité'' de la représentation d'un arrangement, que nous proposons et justifions. Nous donnons également des résultats d'optimisation analytique pour les très petits nombres de droites.
1:  LMC - IMAG - Laboratoire de Modélisation et Calcul
géométrie algorithmique – arrangements – isotopie – représentation – optimisation

Lines arrangements in the plane are widely studied in computational geometry, for their geometric simplicity and combinatorial, or topological complexity. Our contribution is partially the search for relevant data structures and algorithms, efficient both for arrangements construction and explotation of the minimal information characterizing these arrangements. However, our main contribution is the study of the geometric representation of arrangements, by the definition of a geometric equivalence between two sets of lines in the euclidean plane, called isotopy. This is the theoretical justification of the geometric optimization algorithm we propose. This algorithm is based on several criteria to quantify the geometric ``niceness'' of an arrangement representation, that we present. We also give results on analytical optimization of arrangements with very few lines.
computational geometry – arrangements – isotopy – representation – optimisation