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Fiche détaillée Thèses
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (21/06/2012), Lorenzo Zambotti (Dir.)
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Équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique avec un potentiel singulier
Said Karim Bounebache1

Nous nous intéressons dans cette thèse à l' étude de trois dynamiques en dimension infinie, liées à des problèmes d'interface aléatoire. Il s'agira de résoudre une équation aux dérivées partielles stochastiques paraboliques avec différents potentiels singuliers. Trois types de potentiel sont étudiés, dans un premier temps nous considérons l' équation de la chaleur stochastique avec un potentiel convexe sur R^d, correspondant a l' évolution d'une corde aléatoire dans un ensemble convexe O inclus dans R^d et se réfléchissant sur le bord de O. La mesure de réflexion, vue comme la fonctionnelle additive d'un processus de Hunt, est étudiée au travers de sa mesure de Revuz. L'unicité trajectorielle et l'existence d'une solution forte continue sont prouvées. Pour cela nous utilisons des résultats récents sur la convergence étroite de processus de Markov avec une mesure invariante log-concave. Nous étudions ensuite l' équation de la chaleur avec un bruit blanc espace-temps, et un potentiel singulier faisant apparaître un temps local en espace. Cette fois le processus de Markov étudié possède une mesure invariante de type mesure de Gibbs mais avec un potentiel non convexe. L'existence d'une solution est prouvée, ainsi que la convergence, vers une solution stationnaire, d'une suite d'approximation, construite par projections sur des espaces de dimension nie. une étude du semigroupe permet d'obtenir des solutions non-stationnaires Nous combinons enfin les deux précédents modèles. L'existence d'une solution stationnaire est prouvée ainsi que la convergence d'un schéma d'approximation comme précédemment.
1 :  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
Formules d'int egration par parties – équations aux d ériv ées partielles stochastiques – temps locaux – formes de Dirichlet – processus de Markov – fonctionnelles additives – Mosco convergence

Stochastic partial differential equations of parabolic type with singular potential
This thesis deals with some topics linked with interface model, ours aim is to fi nd a solution of some SPDE of parabolic type with singular potential. Firstly We study the motion of a random string in a convex domain O in R^d, namely the solution of a vector-valued stochastic heat equation, con fined in the closure of O and reflected at the boundary of O. We study the structure of the reflection measure by computing its Revuz measure in terms of an infi nite dimensional integration by parts formula. We prove extistence and uniqueness of a strong solution. Our method exploits recent results on weak convergence of Markov processes with log-concave invariant measures. Secondly We consider a stochastic heat equation driven by a space-time white noise and with a singular drift, where a local time in space appears. The process we study has an explicit invariant measure of Gibbs type, with a non-convex potential. We obtain existence of a Markov solution, which is associated with an explicit Dirichlet form. Moreover we study approximations of the stationary solution by means of a regularization of the singular drift or by a nite-dimensional projection. Finaly, we extend the previous methods for a SPDE in which the two types of singularity appear.
Integration by parts formulas – Stochastic partial diff erential equation – local times – Dirichlet forms – Markov processes – additive functionnal – Mosco convergence